Une étude plus complète (notamment incluant des justifications géométriques) se trouve dans le livre d'analyse de Arnaudiès et Fraysse.
est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées, et des réels.
Il suffit alors de faire le changement de variable
pour que magiquement tout
s'arrange et que l'on n'ait plus qu'une fraction rationnelle à intégrer.
est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
On fait alors le changement de variable
.
En fait cela revient simplement à considérer un repère dans lequel l'équation
de l'hyperbole est plus sympathique, c'est-à-dire un repère dont les axes
sont les asymptotes de l'hyperbole.
On trouvera dans FLEMMARD d'autres variantes sympathiques.
Géométriquement, on constate simplement que la courbe
est dans le cas un morceau d'ellipse, et on se donne une paramétrisation sympathique, qui nous donne comme un cosinus de (à divers facteurs près) et
comme un sinus de (là encore à divers facteurs près).
On fait le changement de variable
. Cela nous ramène à
, et nous simplifie tout ça de manière à en faire une fraction rationnelle.
est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
Si , il suffit de multiplier par
pour se ramener au cas précédent; sinon on constate que la fonction
réciproque de cette fonction est rationnelle, et donc on pose
simplement
pour se ramener à une
fraction rationnelle.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud