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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

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Loi forte grd nbre

Nains magiques

Primitives abéliennes

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Sous-sections

$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax+b})$
$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec
$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec
$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$

Primitives abéliennes

Une étude plus complète (notamment incluant des justifications géométriques) se trouve dans le livre d'analyse de Arnaudiès et Fraysse.

$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax+b})$

est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées,

des réels. Il suffit alors de faire le changement de variable $u=\sqrt{ax+b}$ pour que magiquement tout s'arrange et que l'on n'ait plus qu'une fraction rationnelle à intégrer.

$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec

est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
On fait alors le changement de variable $u=\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt a x$ . En fait cela revient simplement à considérer un repère dans lequel l'équation de l'hyperbole est plus sympathique, c'est-à-dire un repère dont les axes sont les asymptotes de l'hyperbole.
On trouvera dans FLEMMARD d'autres variantes sympathiques.

$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec

Géométriquement, on constate simplement que la courbe $x\mapsto (x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ est dans le cas

un morceau d'ellipse, et on se donne une paramétrisation sympathique, qui nous donne

comme un cosinus de

(à divers facteurs près) et $\sqrt{ax^2+bx+c}$ comme un sinus de

(là encore à divers facteurs près).
On fait le changement de variable $cos(u)=\sqrt{\frac{a^2}{b^2/4-ac}}(x+b/a)$ . Cela nous ramène à $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{\frac{ac-b^2/4}{a}}sin(u)$ , et nous simplifie tout ça de manière à en faire une fraction rationnelle.

$\boxcircle$ $\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$

est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
Si

, il suffit de multiplier par $\sqrt{\frac{cx+d}{cx+d}}$ pour se ramener au cas précédent; sinon on constate que la fonction réciproque de cette fonction est rationnelle, et donc on pose simplement $u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ pour se ramener à une fraction rationnelle.