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Primitives abéliennes

Une étude plus complète (notamment incluant des justifications géométriques) se trouve dans le livre d'analyse de Arnaudiès et Fraysse.

$ \boxcircle$ $ \int R(x,\sqrt{ax+b})$

$ R$ est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées, $ a$ et $ b$ des réels. Il suffit alors de faire le changement de variable $ u=\sqrt{ax+b}$ pour que magiquement tout s'arrange et que l'on n'ait plus qu'une fraction rationnelle à intégrer.

$ \boxcircle$ $ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec $ a>0$

$ R$ est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
On fait alors le changement de variable $ u=\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt a x$. En fait cela revient simplement à considérer un repère dans lequel l'équation de l'hyperbole est plus sympathique, c'est-à-dire un repère dont les axes sont les asymptotes de l'hyperbole.
On trouvera dans FLEMMARD d'autres variantes sympathiques.

$ \boxcircle$ $ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ avec $ a<0$

Géométriquement, on constate simplement que la courbe $ x\mapsto (x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ est dans le cas $ a<0$ un morceau d'ellipse, et on se donne une paramétrisation sympathique, qui nous donne $ x$ comme un cosinus de $ u$ (à divers facteurs près) et $ \sqrt{ax^2+bx+c}$ comme un sinus de $ u$ (là encore à divers facteurs près).
On fait le changement de variable $ cos(u)=\sqrt{\frac{a^2}{b^2/4-ac}}(x+b/a)$. Cela nous ramène à $ \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{\frac{ac-b^2/4}{a}}sin(u)$, et nous simplifie tout ça de manière à en faire une fraction rationnelle.

$ \boxcircle$ $ \int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})$

$ R$ est supposée être une fraction rationnelle à deux indéterminées.
Si $ n=2$, il suffit de multiplier par $ \sqrt{\frac{cx+d}{cx+d}}$ pour se ramener au cas précédent; sinon on constate que la fonction réciproque de cette fonction est rationnelle, et donc on pose simplement $ u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ pour se ramener à une fraction rationnelle.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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