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Rappels sur le corps des réels

On considère un corps $ \mathbb{K}$, commutatif, muni d'une relation d'ordre total $ \leq$.
Définition [Définitions de base] $ \mathbb{K}$ est totalement ordonné si $ \forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 0\leq x\land 0\leq y \rightarrow 0 \leq x+y \land 0 \leq x.y$
$ \mathbb{K}$ est archimédien si $ \forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 0 \leq x\land 0< y \rightarrow \exists n \in \mathbb{N}/ x < y + ... + y$   ($ n$ fois)
$ \mathbb{K}$ a la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide majorée de $ K$ admet une borne supérieure.
On appelle corps réel un corps commutatif totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure. On le note $ \mathbb{R}$. On admettra l'existence et l'unicité à isomorphisme près d'un tel corps. Il possède en outre la propriété de la borne inférieure et il est archimédien (comme on peut le prouver facilement).
Propriétés:
$ \bullet $ $ \mathbb{R}$ est de caractéristique nulle; $ 1+1+...+1+1$ est différent de 0.
$ \bullet $ $ \mathbb{R}$ est infini.
Définition [Quelques définitions supplémentaires] $ \bullet $On appelle valeur absolue de $ x \in \mathbb{R}$ et on note $ \vert x\vert$ le réel $ sup(\{x,-x\})$; c'est une norme, dite norme usuelle, de $ \mathbb{R}$ en tant que $ \mathbb{R}$-espace vectoriel; la métrique associée est dite distance usuelle de $ \mathbb{R}$.
$ \bullet $On note $ x^+=max(x,0)$, et $ x^-=max(-x,0)$, si $ x$ est un réel.
$ \bullet $On note $ f^+(x)=(f(x))^+$, si $ f$ est une fonction à valeurs réelles. On définit de même $ f^-(x)=(f(x))^-$.
$ \bullet $On peut définir $ x^+$ à partir de $ x$ et $ \vert x\vert$, $ \vert x\vert$ à partir de $ x^+$ et $ x^-$, $ sup(x,y)$ à partir de $ \vert x-y\vert$, $ x$ et $ y$, en utilisant simplement des additions et des soustractions; je ne donne pas le détail des formules, que l'on retrouve facilement, et que personne ne se fatigue à apprendre par coeur.
$ \bullet $On appelle partie entière d'un réel $ x$ et on note $ E(x)$ ou $ \lfloor x \rfloor$ le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. Il est caractérisé par $ E(x) \in \mathbb{N}\land E(x)\leq x < E(x)+1$. $ x-E(x)$ est appelé partie décimale ou partie fractionnaire de $ x$, et est noté $ [x]$.
$ \bullet $On appelle intervalle de $ \mathbb{R}$ toute partie de $ \mathbb{R}$ contenant le segment d'extrémités $ x$ et $ y$ pour tous $ x$ et $ y$ dans cette partie.
$ \bullet $On appelle longueur d'un intervalle $ I$ non vide le réel $ sup_{(x,y)\in I^2} \vert x-y\vert$.
$ \bullet $Une partie $ A$ de $ \mathbb{R}$ est dite bornée si $ \{\vert x-y\vert/(x,y)\in A^2\}$ est majoré; si $ A$ est non vide le $ sup$ de cet ensemble est alors le diamètre de la partie $ A$, noté $ \partial (A)$.

Propriétés:
$ \bullet $Le diamètre d'une boule ou d'une sphère de rayon $ r$ est $ \leq 2.r$, si cette partie est non vide (ce qui est toujours le cas si l'espace n'est pas réduit à zéro à moins qu'il ne s'agisse d'une boule ouverte de rayon nul)
$ \bullet $Un intervalle peut-être de la forme $ [a,b]$, $ ]a,b[$, $ [a,b[$, $ ]a,b]$, avec éventuellement $ a=-\infty$ si l'intervalle est ouvert à gauche, et/ou $ b=+\infty$ si l'intervalle est ouvert à droite.
$ \bullet $Un segment est un intervalle fermé, de diamètre sa longueur.
Définition On appelle droite numérique achevée et on note $ \overline {\mathbb{R}}$ l'ensemble totalement ordonné $ \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, avec $ +\infty$ plus grand élément et $ -\infty$ plus petit élément (le reste de l'ordre étant l'ordre usuel).
On étend les définitions de segments et d'intervalles à $ \overline {\mathbb{R}}$.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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