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Rappels sur le corps des réels

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Rappels sur le corps des réels

On considère un corps $\mathbb{K}$ , commutatif, muni d'une relation d'ordre total $\leq$ .
Définition [Définitions de base] $\mathbb{K}$ est totalement ordonné si $\forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 0\leq x\land 0\leq y \rightarrow 0 \leq x+y \land 0 \leq x.y$
$\mathbb{K}$ est archimédien si $\forall (x,y) \in \mathbb{K}^2 0 \leq x\land 0< y \rightarrow \exists n \in \mathbb{N}/ x < y + ... + y$ (

fois)
$\mathbb{K}$ a la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide majorée de

admet une borne supérieure.
On appelle corps réel un corps commutatif totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure. On le note $\mathbb{R}$ . On admettra l'existence et l'unicité à isomorphisme près d'un tel corps. Il possède en outre la propriété de la borne inférieure et il est archimédien (comme on peut le prouver facilement).
Propriétés:
$\bullet$ $\mathbb{R}$ est de caractéristique nulle;

est différent de 0.
$\bullet$ $\mathbb{R}$ est infini.
Définition [Quelques définitions supplémentaires] $\bullet$ On appelle valeur absolue de $x \in \mathbb{R}$ et on note $\vert x\vert$ le réel $sup(\{x,-x\})$ ; c'est une norme, dite norme usuelle, de $\mathbb{R}$ en tant que $\mathbb{R}$ -espace vectoriel; la métrique associée est dite distance usuelle de $\mathbb{R}$ .
$\bullet$ On note

, et

, si

est un réel.
$\bullet$ On note

, si

est une fonction à valeurs réelles. On définit de même

.
$\bullet$ On peut définir

à partir de

et $\vert x\vert$ , $\vert x\vert$ à partir de

à partir de $\vert x-y\vert$ ,

, en utilisant simplement des additions et des soustractions; je ne donne pas le détail des formules, que l'on retrouve facilement, et que personne ne se fatigue à apprendre par coeur.
$\bullet$ On appelle partie entière d'un réel

et on note

ou $\lfloor x \rfloor$ le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal. Il est caractérisé par $E(x) \in \mathbb{N}\land E(x)\leq x < E(x)+1$ .

est appelé partie décimale ou partie fractionnaire de

, et est noté

.
$\bullet$ On appelle intervalle de $\mathbb{R}$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant le segment d'extrémités

pour tous

dans cette partie.
$\bullet$ On appelle longueur d'un intervalle

non vide le réel $sup_{(x,y)\in I^2} \vert x-y\vert$ .
$\bullet$ Une partie

de $\mathbb{R}$ est dite bornée si $\{\vert x-y\vert/(x,y)\in A^2\}$ est majoré; si

est non vide le

de cet ensemble est alors le diamètre de la partie

, noté $\partial (A)$ .

Propriétés:
$\bullet$ Le diamètre d'une boule ou d'une sphère de rayon

est $\leq 2.r$ , si cette partie est non vide (ce qui est toujours le cas si l'espace n'est pas réduit à zéro à moins qu'il ne s'agisse d'une boule ouverte de rayon nul)
$\bullet$ Un intervalle peut-être de la forme

, avec éventuellement $a=-\infty$ si l'intervalle est ouvert à gauche, et/ou $b=+\infty$ si l'intervalle est ouvert à droite.
$\bullet$ Un segment est un intervalle fermé, de diamètre sa longueur.
Définition On appelle droite numérique achevée et on note $\overline {\mathbb{R}}$ l'ensemble totalement ordonné $\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ , avec $+\infty$ plus grand élément et $-\infty$ plus petit élément (le reste de l'ordre étant l'ordre usuel).
On étend les définitions de segments et d'intervalles à $\overline {\mathbb{R}}$ .