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Définition de l'intégration au sens de Riemann

Cette partie est un bref rappel sur l'intégrale de Riemann. Pour une définition complète, on consultera par exemple [11]. L'intégrale de Riemann est tout d'abord définie pour les fonctions en escalier.
Définition Etant donnée $ f$ une telle fonction et $ \sigma $ une subdivision de l'intervalle $ [a,b]$, ie une famille $ (\sigma _0,...,\sigma _n)$ vérifiant $ a=\sigma _0<\sigma _1<\sigma _2<...<\sigma _n=b$, l'intégrale sur $ I$ de $ f$, pour $ \sigma $ adaptée à $ f$, c'est à dire telle que sur chaque $ ]\sigma _i,\sigma _{i+1}[$ $ f$ soit constante, est par définition $ \int_I f=\sum_{k=0}^{n-1} {\lambda}_i (\sigma _{i+1}-\sigma _i)$, où $ f_{\vert]\sigma _i,\sigma _{i+1}[}={\lambda}_i$.
Quelques propriétés:
$ \bullet $Définition de l'intégrale indépendante de la subdivision adaptée choisie.
$ \bullet $linéarité de l'intégrale (i.e $ \int_I {\lambda}f+ \mu g={\lambda}\int_I f+\mu \int_I g$).
$ \bullet $Loi de Chasles : $ \int_{[a,b]} f + \int_{[b,c]} f = \int_{[a,c]} f$.
$ \bullet $Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de $ f$ en un nombre fini de points.
$ \bullet $$ f\leq g$ implique $ \int_I f \leq \int_I g$ (en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction $ \leq M$ sur un intervalle de longueur $ l$ est inférieure à $ lM$)
Définition Une application de $ \mathbb{R}$ dans $ E$ ( $ \mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie, $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$) est dite continue par morceaux sur $ I=[a,b]$ s'il existe une subdivision $ \sigma $ de $ I$ telle que sur chaque $ ]\sigma _i,\sigma _{i+1}[$ elle est continue et admet des limites aux bords.
Remarque:
Notons $ F_b([a,b],\mathbb{R})$ 1.1 l'ensemble des fonctions bornées de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}$. Il s'agit d'un espace vectoriel normé complet pour $ {\parallel}f {\parallel}_\infty=sup_{x\in [a,b]} \vert f(x)\vert$1.2 Notons $ {\cal E}$ l'ensemble des fonctions en escalier de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}$. On voit alors que $ {\cal E}$ est inclus dans $ F_b([a,b],\mathbb{R})$ et que l'application intégration $ f \mapsto \int_[a,b] f$ est linéaire, de norme $ \leq \vert b-a\vert$; l' intégration est ainsi uniforméméent continue. $ \overline {\cal E}$ est appelé l'ensemble des fonctions réglées sur $ [a,b]$ . D'après un théorème de prolongement, et comme (1) $ {\cal E}$ est dense dans $ \overline {\cal E}$ (par définition de l'adhérence) (2) $ \overline {\cal E}$ est complet puisque fermé de $ F_b$ qui est lui-même complet, on peut prolonger $ \int_[a,b]$ de manière unique en une application linéaire continue de $ \overline {\cal E}$ dans $ \mathbb{R}$ (encore de norme $ \leq \vert b-a\vert$). Cette méthode permet ainsi de définir l'intégrale sur $ [a,b]$ sans avoir à montrer que la limite est indépendante des subdivisions choisies (il suffit juste de voir que les fonctions continues par morceaux appartiennent à $ F_b$).
Toute application $ f$ continue par morceaux sur $ I$ est limite uniforme d'application en escalier. Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une telle suite; $ \int_I f_n$ converge vers une limite, indépendante du choix de $ f_n$. Par définition, cette limite commune est l'intégrale de $ f$.
Quelques propriétés:
$ \bullet $linéarité de l'intégrale (i.e $ \int_I {\lambda}f+ \mu g={\lambda}\int_I f+\mu \int_I g$).
$ \bullet $Loi de Chasles : $ \int_{[a,b]} f + \int_{[b,c]} f = \int_{[a,c]} f$
$ \bullet $Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de $ f$ en un nombre fini de points.
$ \bullet $$ f\leq g$ implique $ \int_I f \leq \int_I g$ (en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction $ <M$ sur un intervalle de longueur $ l$ est inférieure à $ lM$)
$ \bullet $Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur $ I$ est nulle sur $ I$.
L'inégalité de Schwartz et l'inégalité de Minkowski, données dans la partie [*], sont valables dans le cadre de l'intégrale de Riemann.
On note aussi la formule de la moyenne:
Proposition Formule de la moyenne: Si $ f$ et $ g$ continues par morceaux sur $ [a,b]$, $ f$ à valeurs dans $ \mathbb{R}$, $ g$ à valeurs dans $ \mathbb{R}^+$, $ m=inf_{x\in I} f(x)$, $ M=sup_{x\in I} f(x)$, on a

$\displaystyle m \int_I g \leq \int_I fg \leq M \int_I g$

Si de plus $ f$ est continue, alors

$\displaystyle \exists c \in I / \int_I fg = f(c)\int_I g$


Un corollaire important est le cas d'une fonction $ g$ constante égale à $ 1$: $ m\vert b-a\vert \leq \int f \leq M\vert b-a\vert$ et si $ f$ est continue, $ \int_I f=(b-a)f(c)$ pour un certain $ c\in [a,b]$. Maintenant quelques propriétés des sommes de Riemann;
Définition On appelle subdivision pointée de $ I=[a,b]$ un couple $ (\sigma ,\xi)$ avec $ \sigma $ une subdivision $ (\sigma _0,...,\sigma _n)$ et $ \xi$ une famille $ (\xi_0,...,\xi_{n-1})$ avec $ \xi_i\in [\sigma _i,\sigma _{i+1}]$.
Définition On appelle somme de Riemann associée à la subdivision pointée $ (\sigma ,\xi)$ et on note $ Riemann(f,\sigma ,\xi)$ la valeur $ \sum_{i\in [0,n-1]} f(\xi_i)\vert\sigma _{i+1}-\sigma _i\vert$. On appelle pas d'une subdivision ou d'une subdivision pointée la quantité $ sup_{i\in[0,n-1]} \vert \sigma _{i+1}-\sigma _i \vert$. On le note $ pas(\sigma )$.
Alors, si $ f$ est continue,

$\displaystyle lim_{pas(\sigma )\to 0} Riemann(f,\sigma ,\xi)=\int_I f$

Si $ f$ est continue sur $ [a,b]$, alors $ F:x \mapsto \int_a^x f$ est $ C^1$ et est une primitive de $ f$, i.e. $ F'=f$. Enfin, en intégrale de Riemann l'intégration par parties est valable:
Théorème [Intégration par parties] Soient $ f$ et $ g$ des primitives de fonctions réglées sur $ I=[a,b]$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$. Alors

$\displaystyle \int_I fg'=[fg]_a^b-\int_a^b f'g$

avec par définition $ [fg]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$.
Application(s)... Cette formule sert à peu près partout, par exemple la proposition [*] (calcul de la somme des $ 1/n^2$), le théorème [*], pour les intégrales de Wallis (partie [*]). On trouvera dans le formulaire (partie [*]) une preuve de la formule de Stirling utilisant l'intégration par parties. Le changement de variable est aussi valable:
Théorème [Changement de variable] Si $ f$ est continue sur $ [c,d]$ et si $ \theta$ est $ C^1$ de $ [a,b]$ dans $ [c,d]$, alors on a

$\displaystyle \int_{\theta(a)}^{\theta(b)}f= \int_a^b (f \circ \theta)\theta'$



Notes

...\space 1.1
$ \mathbb{R}$ pouvant d'ailleurs éventuellement être remplacé par $ E$ Banach, ce qui sera utile pour la résolution d'équations linéaires à coefficients non constants en dimension infinie.
... $ {\parallel}f {\parallel}_\infty=sup_{x\in [a,b]} \vert f(x)\vert$1.2
$ \vert f(x)\vert$ remplacé par $ {\parallel}f(x) {\parallel}$ si $ E$ espace de Banach au lieu de $ \mathbb{R}$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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