Cette partie est un bref rappel sur l'intégrale de Riemann. Pour une définition complète,
on consultera par exemple [11].
L'intégrale de Riemann est tout d'abord définie pour les fonctions en escalier.
DéfinitionEtant
donnée une telle fonction et une subdivision de l'intervalle , ie une famille
vérifiant
, l'intégrale
sur de , pour adaptée à , c'est à dire telle que sur chaque
soit constante, est par définition
, où
.
Quelques propriétés:
Définition de l'intégrale indépendante de la subdivision adaptée choisie.
linéarité de l'intégrale (i.e
).
Loi de Chasles :
.
Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de en un nombre fini de points.
implique
(en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction sur un intervalle de longueur est inférieure à )
Définition Une application de
dans (
-espace vectoriel normé de dimension finie,
ou
) est dite continue par morceaux sur s'il existe une subdivision de telle que sur chaque
elle est continue et admet des limites aux bords.
Remarque:
Notons
1.1 l'ensemble des fonctions bornées de dans
. Il s'agit d'un espace vectoriel normé complet pour
1.2 Notons l'ensemble des fonctions en escalier de dans
. On voit alors que
est inclus dans
et que l'application intégration
est linéaire, de norme
; l' intégration est ainsi uniforméméent continue.
est appelé l'ensemble des fonctions réglées sur . D'après un théorème
de prolongement, et comme (1) est dense dans
(par définition de l'adhérence) (2)
est complet puisque fermé de qui est lui-même complet, on peut prolonger
de manière unique
en une application linéaire continue de
dans
(encore de norme
). Cette méthode permet
ainsi de définir l'intégrale sur sans avoir à montrer que la limite est indépendante des subdivisions choisies (il suffit juste de voir que les fonctions continues par morceaux appartiennent à ).
Toute application continue par morceaux sur est limite uniforme d'application en escalier. Soit
une telle suite;
converge vers une limite, indépendante du choix de . Par définition, cette limite commune est l'intégrale de .
Quelques propriétés:
linéarité de l'intégrale (i.e
).
Loi de Chasles :
Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de en un nombre fini de points.
implique
(en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction sur un intervalle de longueur est inférieure à )
Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur est nulle sur .
L'inégalité de Schwartz et l'inégalité de Minkowski, données dans la partie , sont valables dans le cadre de l'intégrale de Riemann.
On note aussi la formule de la moyenne:
Proposition Formule de la moyenne: Si et continues par morceaux sur , à valeurs dans
, à valeurs dans
,
,
, on a
Si de plus est continue, alors
Un corollaire important est le cas d'une fonction constante égale à :
et si est continue,
pour un certain
.
Maintenant quelques propriétés des sommes de Riemann;
Définition On appelle subdivision pointée de un couple
avec une subdivision
et une famille
avec
.
Définition On appelle somme de Riemann associée à la subdivision pointée
et on note
la valeur
. On appelle pas d'une subdivision ou d'une subdivision pointée la quantité
. On le note
.
Alors, si est continue,
Si est continue sur , alors
est et est une primitive de , i.e. .
Enfin, en intégrale de Riemann l'intégration par parties est valable:
Théorème [Intégration par parties]
Soient et des primitives de fonctions réglées sur , à valeurs dans
.
Alors
avec par définition
.
Cette formule sert à peu près partout, par exemple la proposition (calcul de la somme des ), le théorème , pour les intégrales de Wallis (partie ).
On trouvera dans le formulaire (partie ) une preuve de la formule de Stirling
utilisant l'intégration par parties.
Le changement de variable est aussi valable:
Théorème [Changement de variable]
Si est continue sur et si est de dans , alors on a
pouvant d'ailleurs éventuellement être remplacé par Banach, ce qui sera utile pour la résolution d'équations linéaires à coefficients non constants en dimension infinie.