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Définition de l'intégration au sens de Riemann

suivant: Lien entre intégrale de monter: Quelques rappels et compléments précédent: Les nombres complexes Index

Définition de l'intégration au sens de Riemann

Cette partie est un bref rappel sur l'intégrale de Riemann. Pour une définition complète, on consultera par exemple [11]. L'intégrale de Riemann est tout d'abord définie pour les fonctions en escalier.
Définition Etant donnée

une telle fonction et $\sigma$ une subdivision de l'intervalle

, ie une famille $(\sigma _0,...,\sigma _n)$ vérifiant $a=\sigma _0<\sigma _1<\sigma _2<...<\sigma _n=b$ , l'intégrale sur

, pour $\sigma$ adaptée à

, c'est à dire telle que sur chaque $]\sigma _i,\sigma _{i+1}[$

soit constante, est par définition $\int_I f=\sum_{k=0}^{n-1} {\lambda}_i (\sigma _{i+1}-\sigma _i)$ , où $f_{\vert]\sigma _i,\sigma _{i+1}[}={\lambda}_i$ .
Quelques propriétés:
$\bullet$ Définition de l'intégrale indépendante de la subdivision adaptée choisie.
$\bullet$ linéarité de l'intégrale (i.e $\int_I {\lambda}f+ \mu g={\lambda}\int_I f+\mu \int_I g$ ).
$\bullet$ Loi de Chasles : $\int_{[a,b]} f + \int_{[b,c]} f = \int_{[a,c]} f$ .
$\bullet$ Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de

en un nombre fini de points.
$\bullet$ $f\leq g$ implique $\int_I f \leq \int_I g$ (en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction $\leq M$ sur un intervalle de longueur

est inférieure à

)
Définition Une application de $\mathbb{R}$ dans

( $\mathbb{K}$ -espace vectoriel normé de dimension finie, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est dite continue par morceaux sur

s'il existe une subdivision $\sigma$ de

telle que sur chaque $]\sigma _i,\sigma _{i+1}[$ elle est continue et admet des limites aux bords.
Remarque:
Notons $F_b([a,b],\mathbb{R})$ ^1.1 l'ensemble des fonctions bornées de

dans $\mathbb{R}$ . Il s'agit d'un espace vectoriel normé complet pour ${\parallel}f {\parallel}_\infty=sup_{x\in [a,b]} \vert f(x)\vert$ ^1.2 Notons ${\cal E}$ l'ensemble des fonctions en escalier de

dans $\mathbb{R}$ . On voit alors que ${\cal E}$ est inclus dans $F_b([a,b],\mathbb{R})$ et que l'application intégration $f \mapsto \int_[a,b] f$ est linéaire, de norme $\leq \vert b-a\vert$ ; l' intégration est ainsi uniforméméent continue. $\overline {\cal E}$ est appelé l'ensemble des fonctions réglées sur

. D'après un théorème de prolongement, et comme (1) ${\cal E}$ est dense dans $\overline {\cal E}$ (par définition de l'adhérence) (2) $\overline {\cal E}$ est complet puisque fermé de

qui est lui-même complet, on peut prolonger $\int_[a,b]$ de manière unique en une application linéaire continue de $\overline {\cal E}$ dans $\mathbb{R}$ (encore de norme $\leq \vert b-a\vert$ ). Cette méthode permet ainsi de définir l'intégrale sur

sans avoir à montrer que la limite est indépendante des subdivisions choisies (il suffit juste de voir que les fonctions continues par morceaux appartiennent à

).
Toute application

continue par morceaux sur

est limite uniforme d'application en escalier. Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une telle suite; $\int_I f_n$ converge vers une limite, indépendante du choix de

. Par définition, cette limite commune est l'intégrale de

.
Quelques propriétés:
$\bullet$ linéarité de l'intégrale (i.e $\int_I {\lambda}f+ \mu g={\lambda}\int_I f+\mu \int_I g$ ).
$\bullet$ Loi de Chasles : $\int_{[a,b]} f + \int_{[b,c]} f = \int_{[a,c]} f$
$\bullet$ Valeur de l'intégrale inchangée si on modifie la valeur de

en un nombre fini de points.
$\bullet$ $f\leq g$ implique $\int_I f \leq \int_I g$ (en particulier l'intégrale d'une fonction positive est positive, l'intégrale d'une fonction

sur un intervalle de longueur

est inférieure à

)
$\bullet$ Une fonction continue positive d'intégrale nulle sur

est nulle sur

.
L'inégalité de Schwartz et l'inégalité de Minkowski, données dans la partie

, sont valables dans le cadre de l'intégrale de Riemann.
On note aussi la formule de la moyenne:
Proposition Formule de la moyenne: Si

continues par morceaux sur

à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,

à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ , $m=inf_{x\in I} f(x)$ , $M=sup_{x\in I} f(x)$ , on a

$\displaystyle m \int_I g \leq \int_I fg \leq M \int_I g$

Si de plus

est continue, alors

$\displaystyle \exists c \in I / \int_I fg = f(c)\int_I g$

Un corollaire important est le cas d'une fonction

constante égale à

: $m\vert b-a\vert \leq \int f \leq M\vert b-a\vert$ et si

est continue, $\int_I f=(b-a)f(c)$ pour un certain $c\in [a,b]$ . Maintenant quelques propriétés des sommes de Riemann;
Définition On appelle subdivision pointée de

un couple $(\sigma ,\xi)$ avec $\sigma$ une subdivision $(\sigma _0,...,\sigma _n)$ et $\xi$ une famille $(\xi_0,...,\xi_{n-1})$ avec $\xi_i\in [\sigma _i,\sigma _{i+1}]$ .
Définition On appelle somme de Riemann associée à la subdivision pointée $(\sigma ,\xi)$ et on note $Riemann(f,\sigma ,\xi)$ la valeur $\sum_{i\in [0,n-1]} f(\xi_i)\vert\sigma _{i+1}-\sigma _i\vert$ . On appelle pas d'une subdivision ou d'une subdivision pointée la quantité $sup_{i\in[0,n-1]} \vert \sigma _{i+1}-\sigma _i \vert$ . On le note $pas(\sigma )$ .
Alors, si

est continue,

$\displaystyle lim_{pas(\sigma )\to 0} Riemann(f,\sigma ,\xi)=\int_I f$

est continue sur

, alors $F:x \mapsto \int_a^x f$ est

et est une primitive de

, i.e.

. Enfin, en intégrale de Riemann l'intégration par parties est valable:
Théorème [Intégration par parties] Soient

des primitives de fonctions réglées sur

, à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Alors

$\displaystyle \int_I fg'=[fg]_a^b-\int_a^b f'g$

avec par définition

Cette formule sert à peu près partout, par exemple la proposition

(calcul de la somme des

), le théorème

, pour les intégrales de Wallis (partie

)

. On trouvera dans le formulaire (partie

) une preuve de la formule de Stirling utilisant l'intégration par parties. Le changement de variable est aussi valable:
Théorème [Changement de variable] Si

est continue sur

et si $\theta$ est

dans

, alors on a

$\displaystyle \int_{\theta(a)}^{\theta(b)}f= \int_a^b (f \circ \theta)\theta'$

Notes

...\space ^1.1: $\mathbb{R}$ pouvant d'ailleurs éventuellement être remplacé par Banach, ce qui sera utile pour la résolution d'équations linéaires à coefficients non constants en dimension infinie.
... ${\parallel}f {\parallel}_\infty=sup_{x\in [a,b]} \vert f(x)\vert$ ^1.2: $\vert f(x)\vert$ remplacé par ${\parallel}f(x) {\parallel}$ si espace de Banach au lieu de $\mathbb{R}$ .