Théorème
Soit la mesure de Lebesgue sur
.
(i) Soit intervalle compact (
),
de dans
ou
continue (ou simplement réglée). Alors est mesurable, sur et
(au sens de Lebesgue) (au sens de Riemann)
(ii) Soit intervalle de
(
), continue de dans
(ou simplement réglée sur tout intervalle compact de ). est alors mesurable, et est si et seulement si son intégrale au sens de Riemann est absolument convergente (ie si
) et alors
Le terme de gauche désignant l'intégrale généralisée au sens de Riemann (ie
) et le terme de droite l'intégrale au sens de Lebesgue.
Démonstration:
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
la mesure de Lebesgue
.
(i) Soit ![$ I=[a,b]$](/a/a/l/img74.png){kind=small}
intervalle compact
),
de 
dans
continue
![$ [a,b]$](/a/a/l/img39.png){kind=small}
et
(au sens de Lebesgue)
(au sens de Riemann)
![$ I=]a,b[$](/a/a/l/img123.png){kind=small}
intervalle de
), ![$ ]a,b[$](/a/a/l/img40.png){kind=small}
dans
) et alors
) et le terme de droite l'intégrale au sens de Lebesgue.
