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Lien entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue

Théorème Soit $ {\lambda}$ la mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}$. (i) Soit $ I=[a,b]$ intervalle compact ( $ -\infty <a<b<\infty$), $ f$ de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$ continue (ou simplement réglée). Alors $ f$ est mesurable, $ L^1$ sur $ [a,b]$ et

$\displaystyle \int_I f d{\lambda}$(au sens de Lebesgue)$\displaystyle =\int_a^b f(x)dx$   (au sens de Riemann)

(ii) Soit $ I=]a,b[$ intervalle de $ \mathbb{R}$ ( $ \infty \leq a < b \leq \infty$), $ f$ continue de $ ]a,b[$ dans $ \mathbb{C}$ (ou simplement réglée sur tout intervalle compact de $ I$). $ f$ est alors mesurable, et $ f$ est $ L^1$ si et seulement si son intégrale au sens de Riemann est absolument convergente (ie si $ \lim_{X \to a^+,Y\to b^-} \int_X^Y \vert f(x)\vert dx < \infty$) et alors

$\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int f d{\lambda}$

Le terme de gauche désignant l'intégrale généralisée au sens de Riemann (ie $ \lim_{X \to a^+,Y\to b^-} int_X^Y \vert f(x)\vert dx$) et le terme de droite l'intégrale au sens de Lebesgue.
Démonstration: $ \sqcap$$ \sqcup$

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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