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Suites

$ \boxcircle$ Définitions

Définition La suite $ (y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de la suite $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ si il existe $ \phi$ de $ \mathbb{N}$ dans $ \mathbb{N}$ strictement croissante telle que $ \forall k y_k=x_{\phi(k)}$.
$ x$ est un point d'accumulation ou une valeur d'adhérence de la suite $ x_n$ si $ x \in \cap_n \overline {\{x_k / k \geq n\}}$.
$ x_n$ converge vers $ x$ si pour tout voisinage $ V$ de $ x$ il existe $ N$ tel que pour tout $ n>N$ $ x_n \in V$.
La suite $ x_n$ est dite convergente si elle converge vers un certain $ x$.

$ \boxcircle$ Propriétés

$ \bullet $Cas général
Une suite finie admet une suite extraite constante.
Une suite infinie admet une suite extraite monotone.
Une suite bornée admet une suite extraite convergente.
$ x$ est point d'accumulation des $ x_n$ si pour tout $ V$ voisinage de $ x$ il existe une infinité de $ n$ tels que $ x_n$ est dans $ V$.
La notion de convergence d'une suite est équivalente à la notion de limite en l'infini, avec la topologie que l'on s'est donnée en [*] sur $ \mathbb{N}\cup \{ + \infty \}$.
Dans un espace séparé, la limite est unique.
Si une suite converge vers $ x$, alors toute suite extraite de cette suite converge vers $ x$.
Une limite de suite extraite est une valeur d'adhérence (pas de réciproque dans le cas général).
$ \bullet $Cas métrique
Dans le cas d'un espace métrique, $ x$ est donc point d'accumulation si pour tout $ \epsilon $ il existe une infinité de $ n$ tels que $ d(x_n,x)<\epsilon $.
Dans un espace métrique, la limite est unique.
Dans le cas d'un espace métrique, une valeur d'adhérence est une limite de suite extraite.
Dans un espace métrique, une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence, et si elle en a une, elle converge et cette valeur est sa limite.
Dans un espace métrique compact (qui est donc aussi complet), une suite n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence est une suite convergente.
Dans un espace métrique il sera souvent utile d'introduire la définition $ X_n=\{x_p/p\geq n\}$; l'ensemble des valeurs d'adhérence est alors l'intersection des $ \overline {X_n}$, c'est donc un fermé, et la suite est une suite de Cauchy si le diamètre des $ X_n$ tend vers 0.
$ \bullet $Cas d'un espace vectoriel normé
L'ensemble des suites d'un espace vectoriel normé est un espace vectoriel , avec les opérations de multiplication par un scalaire terme à terme, et d'addition terme à terme (valable même si l'espace n'est pas normé).
L'ensemble des suites bornées en est un sous-espace vectoriel. On peut le normer par la fonction qui à une suite associe le sup des normes de ses éléments. On notera cette norme $ \parallel . \parallel$.
L'ensemble des suites de Cauchy est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites bornées.
L'ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de Cauchy. L'application qui à une suite convergente associe sa limite (qui est unique) est linéaire et continue de norme $ 1$.
Si notre espace vectoriel normé est muni de deux normes différentes $ \nor_1$ et $ \nor_2$ et si il existe $ \alpha $ tel que $ \nor_1 \leq \alpha \nor_2$ alors les suites bornées pour $ \nor_2$ sont des suites bornées pour $ \nor_1$, idem pour les suites de Cauchy, et idem pour les suites convergentes. Dans le cas de normes équivalentes, on a donc les mêmes suites de Cauchy, les mêmes suites bornées, et les mêmes suites convergentes. Ainsi, il est de Banach pour $ {\parallel}. {\parallel}_1$ si et seulement si il est de Banach pour $ {\parallel}. {\parallel}_2$.
$ \bullet $Cas d'un corps $ \mathbb{K}=\mathbb{Q}$, $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$
L'ensemble des suites est une $ \mathbb{K}$-algèbre commutative et unitaire; il est muni pour cela du produit par un scalaire, de l'addition terme à terme, du produit terme à terme (l'unité étant la suite constante égale à $ 1$).
L'ensemble des suites bornées est une sous-algèbre unitaire de cette algèbre.
L'ensemble des suites de Cauchy est une sous-algèbre unitaire de cette sous-algèbre.
L'ensemble des suits convergentes est une sous-algèbre unitaire de cette sous-algèbre.
L'application qui à une suite associe sa limite est un morphisme d'algèbres. Ce morphisme est continu. Le noyau de ce morphisme (l'ensemble des suites qui convergent vers 0) est un idéal de l'ensemble des suites bornées.
$ \bullet $Cas du corps $ \mathbb{R}$
Toute suite monotone bornée converge.
Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent et ont même limite.
$ \bullet $Cas du corps $ \mathbb{C}$
Dans le cas d'une suite complexe on peut se ramener à l'étude de suites réelles; la suite converge si les parties réelles et imaginaires convergent.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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