L'ensemble des suites réelles est un anneau commutatif, un espace vectoriel sur
, ou même une
-algèbre.
Définition
Une suite réelle est dite majorée, minorée, bornée, finie, si son image est majorée, minorée, bornée, finie.
L'ensemble des suites réelles bornées est un sous-anneau, un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles.
Définition
Pour la définition de la limite d'une suite, on pourra consulter , et notamment la topologie de
.
Une suite converge vers un réel si sa limite en est . Une suite diverge si et seulement si elle ne converge pas.
étant séparé, la limite d'une suite est unique.
Une suite tend vers (resp. ) si sa limite en est (resp. ) dans
.
L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-anneau, un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles bornées.
Théorème
Toute suite croissante majorée de
est convergente; sa limite est le de son image.
Toute suite décroissante minorée de
est convergente; sa limite est l' de son image.
Si deux suites sont l'une croissante, l'autre décroissante, et si leur différence tend vers 0, alors elles sont dites adjacentes; deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Démonstration:Ces résultats, très simples, constituent un (petit!) entraînement à l'utilisation des et des .
Une illustration des suites adjacentes est le résultat .
Théorème est complet.
Démonstration:Il est évident qu'une suite convergente est de Cauchy; et réciproquement étant donnée une suite de Cauchy on peut considérer les deux suites
et
; ces deux suites sont adjacentes.
Théorème [Théorème des segments emboîtés]
L'intersection d'une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers 0 est un singleton.
Démonstration:Il suffit de considérer la suite des et la suite des ; ces suites sont adjacentes. suivant:Séries monter:Suites et séries précédent:SuitesIndex
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
Généralités
, ou même une
![[*]](/images/crossref.png)
.
si sa limite en 
est 
)
.
de son image.
de son image.
et des 
.
on peut considérer les deux suites
et
; ces deux suites sont adjacentes
