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Suites réelles

$ \boxcircle$ Généralités

L'ensemble des suites réelles est un anneau commutatif, un espace vectoriel sur $ \mathbb{R}$, ou même une $ \mathbb{R}$-algèbre.
Définition Une suite réelle est dite majorée, minorée, bornée, finie, si son image est majorée, minorée, bornée, finie.

L'ensemble des suites réelles bornées est un sous-anneau, un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles.
Définition Pour la définition de la limite d'une suite, on pourra consulter [*], et notamment la topologie de $ \mathbb{N}\cup \{ + \infty \}$.
Une suite converge vers un réel $ x$ si sa limite en $ +\infty$ est $ x$. Une suite diverge si et seulement si elle ne converge pas. $ \mathbb{R}$ étant séparé, la limite d'une suite est unique.
Une suite tend vers $ +\infty$ (resp. $ -\infty$) si sa limite en $ +\infty$ est $ +\infty$ (resp. $ -\infty$) dans $ \overline {\mathbb{R}}$.

L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-anneau, un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles bornées.

$ \boxcircle$ Suites monotones. Applications

Théorème Toute suite croissante majorée de $ \mathbb{R}$ est convergente; sa limite est le $ sup$ de son image.
Toute suite décroissante minorée de $ \mathbb{R}$ est convergente; sa limite est l'$ inf$ de son image.
Si deux suites sont l'une croissante, l'autre décroissante, et si leur différence tend vers 0, alors elles sont dites adjacentes; deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Démonstration: Ces résultats, très simples, constituent un (petit!) entraînement à l'utilisation des $ \epsilon $ et des $ \partial $.$ \sqcap$$ \sqcup$
Une illustration des suites adjacentes est le résultat [*].
Théorème $ \mathbb{R}$ est complet.
Démonstration: Il est évident qu'une suite convergente est de Cauchy; et réciproquement étant donnée une suite de Cauchy $ x_n$ on peut considérer les deux suites $ n \mapsto sup_{k \geq n} x_k$ et $ n \mapsto inf_{k \geq n} x_k$; ces deux suites sont adjacentes.
Théorème [Théorème des segments emboîtés] L'intersection d'une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers 0 est un singleton.
Démonstration: Il suffit de considérer la suite des $ sup$ et la suite des $ inf$; ces suites sont adjacentes.$ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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