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$\boxcircle$ Généralités
$\boxcircle$ Suites monotones. Applications

Suites réelles

$\boxcircle$ Généralités

L'ensemble des suites réelles est un anneau commutatif

, un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ , ou même une $\mathbb{R}$ -algèbre.
Définition Une suite réelle est dite majorée, minorée, bornée, finie, si son image est majorée, minorée

, bornée

, finie.

L'ensemble des suites réelles bornées est un sous-anneau

, un sous-espace vectoriel

, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles.
Définition Pour la définition de la limite d'une suite, on pourra consulter

, et notamment la topologie de $\mathbb{N}\cup \{ + \infty \}$ .
Une suite converge vers un réel

si sa limite en $+\infty$ est

. Une suite diverge si et seulement si elle ne converge pas. $\mathbb{R}$ étant séparé

, la limite d'une suite est unique.
Une suite tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si sa limite en $+\infty$ est $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) dans $\overline {\mathbb{R}}$ .

L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-anneau, un sous-espace vectoriel, une sous-algèbre de l'ensemble des suites réelles bornées.

$\boxcircle$ Suites monotones. Applications

Théorème Toute suite croissante majorée

de $\mathbb{R}$ est convergente; sa limite est le

de son image.
Toute suite décroissante minorée de $\mathbb{R}$ est convergente; sa limite est l'

de son image.
Si deux suites sont l'une croissante, l'autre décroissante, et si leur différence tend vers 0, alors elles sont dites adjacentes; deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Démonstration: Ces résultats, très simples, constituent un (petit!) entraînement à l'utilisation des $\epsilon$ et des $\partial$ . $\sqcap$ $\sqcup$
Une illustration des suites adjacentes est le résultat

.
Théorème $\mathbb{R}$ est complet

.
Démonstration: Il est évident qu'une suite convergente est de Cauchy

; et réciproquement étant donnée une suite de Cauchy

on peut considérer les deux suites $n \mapsto sup_{k \geq n} x_k$ et $n \mapsto inf_{k \geq n} x_k$ ; ces deux suites sont adjacentes

.
Théorème [Théorème des segments emboîtés] L'intersection d'une suite décroissante de segments dont la longueur tend vers 0 est un singleton.
Démonstration: Il suffit de considérer la suite des

et la suite des

; ces suites sont adjacentes. $\sqcap$ $\sqcup$