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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Séries

suivant: Du théorème de Rolle monter: Suites et séries précédent: Suites réelles Index

Sous-sections

$\boxcircle$ Séries à termes positifs, absolue convergence

Séries

Dans cette partie on travaillera avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ .
Définition On se donne une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , à valeurs dans $\mathbb{K}$ . On définit $U_n=\sum_{k=0}^n u_k$ . On se pose la question de la convergence

de la suite

. Si la limite existe, on l'appellera somme de la série et on la notera

$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = lim_{k\to +\infty} U_k$

On dit que

est la série de terme général

.
Définition On dit que la série de terme général

converge absolument si la série de terme général $(\vert u_n\vert)$ converge

. Une série est dite semi-convergente si elle converge sans converger absolument.
Définition On dit que deux séries sont de même nature si et seulement si elles sont simultanément convergentes

ou simultanément divergentes.
Définition On appelle somme partielle d'ordre de la série de terme général $(u_n)_{n\geq 0}$ la somme $\sum_{n=0}^p u_n$ . On appelle reste d'ordre de la série de terme général $(u_n)_{n\geq 0}$ la somme de la série de terme général $(v_n)_{n\geq 0}$ définie par $v_n=u_{n+p}$ , lorsque cette série converge. On notera par la suite

le reste à l'ordre

de la série de terme général

. On a $R_p=\sum_{n\geq p} u_n$ .
Quelques remarques simples:
$\bullet$ La série de terme générale

converge si et seulement si la suite $n\mapsto \sum_{i=1}^n u_i$ converge.
$\bullet$ s'il y a convergence de la série, alors $u_n \to 0$ .
$\bullet$ la série de terme général

converge si et seulement si $\vert x\vert<1$ . Elle converge d'ailleurs si et seulement si elle converge absolument.
$\bullet$ une série converge (resp. converge absolument) si et seulement si son reste à un certain ordre

converge (resp. converge absolument); et en ce cas son reste à tout ordre converge (resp. converge absolument).
$\bullet$ Si une série converge, alors la suite

tend vers 0 en $+\infty$ .
$\bullet$ $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$ étant complets, on peut directement appliquer le critère de Cauchy aux séries dans ces espaces:
Proposition La série de terme général

converge

(resp. converge absolument

) si et seulement si

$\displaystyle \forall \epsilon \exists N / \forall n>0 \vert\sum_{i=N}^{N+n} u_i\vert < \epsilon$

resp. si et seulement si

$\displaystyle \forall \epsilon \exists N / \forall n>0 \sum_{i=N}^{N+n}\vert u_i \vert < \epsilon$

Voir pour application la partie

. $\bullet$ si une série est semi-convergente, alors la série de terme général

et la série de terme général

sont divergentes (tendent vers $+\infty$ ). $\bullet$ si une série converge absolument alors elle converge (preuve en considérant les parties réelles et imaginaires, et en les décomposant en partie positive et en partie négative - preuve possible aussi en utilisant le critère de Cauchy).

$\boxcircle$ Séries à termes positifs, absolue convergence

Quelques remarques simples:
Proposition $\bullet$ Une série à termes positifs converge

si et seulement si elle est absolument convergente

.
$\bullet$ Toute série de terme général extrait du terme général d'une série à termes positifs convergente est convergente, de somme inférieure à la somme de la série initiale.
$\bullet$ Toute série déduite d'une série convergente à termes positifs par permutation (éventuellement infinie) des termes est une série convergente de même somme.
$\bullet$ Si deux séries à termes positifs sont ordonnées par $u_n \leq v_n$ , alors si $\sum v_n$ converge on peut affirmer que $\sum u_n$ converge, et si $\sum u_n$ diverge on peut affirmer que $\sum u_n$ diverge.
$\bullet$ si

avec

terme générale d'une série absolument convergente (par exemple une série convergente à termes positifs), alors

est le terme général d'une série absolument convergente (nb: il n'est pas requis que

soit une suite $\geq 0$ ).
$\bullet$ Si $u_n \simeq v_n$

et si l'une de ces deux séries est à termes positifs (au moins au voisinage de l'infini) alors les deux séries sont de même nature.
On déduit notamment de ceci le fait que si

est le terme général d'une série à termes positifs ou nuls, alors les séries de termes généraux

sont de même nature (et de même nature que la série de terme général

, dans le cas où $u_n \to 0$ ).

est une série à terme général positif ou nul, alors $\Pi (1+u_n)$ converge si et seulement si $\sum u_n$ converge.

$\diamond$ Séries de Riemann, séries de Bertrand

Proposition $\bullet$ Série de Riemann: $x \in \mathbb{R}$ , $\sum 1/n^x$ converge si et seulement si

(démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin

) $\bullet$ Série de Bertrand: $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ , $\sum 1/(n^x.ln(n)^y)$ converge si et seulement si

ou (

) (démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin)

On trouvera une preuve amusante de ces deux résultats en partie

(plus originale que la preuve par comparaison avec une intégrale).

$\diamond$ Utilisation de $u_{n+1}/u_n$

Proposition On se donne

suites à termes

. Alors si $u_{n+1}/u_n< v_{n+1}/v_n$ (au moins à partir d'un certain rang), alors $\bullet$ la convergence de la série de terme général

entraine la convergence de la série de terme général

$\bullet$ la divergence de la série de terme général

entraine la divergence de la série de terme général

Démonstration: Les deux affirmations étant contraposées, il suffit de prouver la première, et elle n'est pas bien dure en se ramenant à la comparaison de deux séries de termes généraux équivalents, l'une étant positive... $\sqcap$ $\sqcup$
Corollaire [Critère de D'Alembert] Si

est une série à termes positifs telle que $u_{n+1}/u_n$ tend vers

, alors si

la série converge

, et si

, alors la série diverge.
Démonstration: $\bullet$ Cas où

: on se donne

avec

; la proposition ci-dessous, jointe au fait que la série de terme général

converge, permet de conclure que la série de terme général

converge. $\bullet$ Cas où

: en prenant

tel que

, on constate que la suite

ne tend pas même vers zéro, ce qui serait la moindre des choses pour le terme général d'une série convergente. $\sqcap$ $\sqcup$

$\diamond$ Règle de Cauchy

Théorème [Règle de Cauchy]

, alors $limsup \sqrt[n]{u_n} = l < 1 \to \sum u_n$ converge $limsup \sqrt[n]{u_n} = l > 1 \to \sum u_n$ diverge
Démonstration: Facile, je ne daigne pas détailler, il suffit dans le premier cas de choisir

compris entre

; et dans le deuxième cas, la suite n'a pas même le bon goût de tendre vers 0. $\sqcap$ $\sqcup$

$\diamond$ Critère de Raabe-Duhamel (alias $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , suite)

Proposition [Règle de Raabe-Duhamel] Soit

, avec $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{a}{n}+r_n$ , avec

terme général d'une série absolument convergente

; alors $u_n \simeq K/n^a$ pour un certain

(et donc la série de terme général

converge $\iff a>1$ ).
Démonstration: On définit

; il est clair que si cette suite converge on a bien le résultat souhaité. Or $v_{n+1}-v_n=ln(u_{n+1}/u_n)+a.ln(\frac{n+1}{n})=-a/n+r_n+O(-a/n+r_n)^2+O(1/n^2)$ . En utilisant le fait que $\vert(a/n).w_n\vert\leq \frac12 (a^2/n^2+w_n^2)$ , on en déduit que $v_{n+1}-v_n=O(1/n^2)+O(r_n^2)+r_n=O(r_n+\frac 1 {n^2})$ . Or

et $\frac1{n^2}$ sont tous deux termes généraux de séries absolument convergentes, donc $v_{n+1}-v_n$ est terme général d'une série absolument convergente, donc convergente, et donc

est une suite convergente.