Dans cette partie on travaillera avec
ou
.
Définition On se donne une suite
, à valeurs dans
. On définit
. On se pose la question de la
convergence de la suite . Si la limite existe, on
l'appellera somme de la série et on la notera
On dit que est la série de terme général .
Définition On dit que la série de terme général converge absolument
si la série de terme général converge. Une série est dite
semi-convergente si elle converge sans converger absolument.
Définition On dit que deux séries sont de même nature si et seulement si
elles sont simultanément convergentes ou simultanément divergentes.
Définition On appelle somme partielle d'ordre de la série de terme
général
la somme
.
On appelle reste d'ordre de la série de terme général
la somme de la série de terme général
définie par
, lorsque cette série converge. On notera par la suite le
reste à l'ordre de la série de terme général . On a
.
Quelques remarques simples:
La série de terme générale converge si et seulement si la suite
converge.
s'il y a convergence de la série, alors .
la série de terme général converge si et seulement si
. Elle converge d'ailleurs si et seulement si elle
converge absolument.
une série converge (resp. converge absolument) si et seulement si son reste à un certain ordre converge (resp. converge absolument); et en ce cas son reste à tout ordre converge (resp. converge absolument).
Si une série converge, alors la suite tend vers 0 en .
et
étant complets, on peut directement appliquer le critère de
Cauchy aux séries dans ces espaces:
Proposition La série de terme général converge (resp. converge absolument)
si et seulement si
resp. si et seulement si
Voir pour application la partie.
si une série est semi-convergente, alors la série de terme général
et la série de terme général
sont divergentes (tendent vers ).
si une série converge absolument alors elle converge (preuve en considérant les parties réelles et imaginaires, et en les décomposant en partie positive
et en partie négative - preuve possible aussi en utilisant le critère de Cauchy).
Quelques remarques simples:
PropositionUne série à termes positifs converge si et seulement si elle est absolument convergente.
Toute série de terme général extrait du terme général d'une série à termes positifs convergente est convergente, de somme inférieure à la somme de la série initiale.
Toute série déduite d'une série convergente à termes positifs par permutation (éventuellement infinie) des termes est une série convergente de même somme.
Si deux séries à termes positifs sont ordonnées par
, alors si converge on peut affirmer que converge, et si diverge on peut affirmer que diverge.
si
avec terme générale d'une série absolument convergente (par exemple une série convergente à termes positifs), alors est le terme général d'une série absolument convergente (nb: il n'est pas requis que soit une suite ).
Si
et si l'une de ces deux séries est à termes positifs
(au moins au voisinage de l'infini) alors les deux séries sont de même nature.
On déduit notamment de ceci le fait que si est le terme général d'une série à termes positifs ou nuls, alors les séries de termes généraux et sont de même nature (et de même nature que
la série de terme général , dans le cas où ).
Si est une série à terme général positif ou nul, alors
converge si et seulement si converge.
PropositionSérie de Riemann:
,
converge si et seulement si (démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin)
Série de Bertrand:
,
converge si et seulement si ou ( et ) (démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin)
On trouvera une preuve amusante de ces deux résultats en partie (plus originale que la preuve par comparaison avec une intégrale).
Proposition
On se donne et suites à termes .
Alors si
(au moins à partir
d'un certain rang), alors
la convergence de la série de terme général
entraine la convergence de la série de terme général la divergence de la série de terme général
entraine la divergence de la série de terme général Démonstration:Les deux affirmations étant contraposées, il suffit
de prouver la première, et elle n'est pas bien dure en se
ramenant à la comparaison de deux séries de termes généraux
équivalents, l'une étant positive... Corollaire [Critère de D'Alembert]
Si est une série à termes positifs telle que
tend vers , alors si la série
converge, et si , alors la série diverge.
Démonstration:Cas où : on se donne avec ; la proposition ci-dessous,
jointe au fait que la série de terme général converge,
permet de conclure que la série de terme général converge.
Cas où : en prenant tel que , on constate que la
suite ne tend pas même vers zéro, ce qui serait la moindre des choses
pour le terme général d'une série convergente.
Théorème [Règle de Cauchy], alors
converge diverge
Démonstration:Facile, je ne daigne pas détailler, il suffit dans le premier cas
de choisir compris entre et ; et dans le deuxième cas, la suite
n'a pas même le bon goût de tendre vers 0.
Proposition [Règle de Raabe-Duhamel]
Soit , avec
, avec terme général d'une série absolument convergente; alors
pour un certain (et donc la série de terme général converge ).
Démonstration:On définit
; il est clair que si cette suite converge on a bien le résultat souhaité.
Or
.
En utilisant le fait que
, on en déduit que
.
Or et
sont tous deux termes généraux de séries absolument convergentes, donc
est terme général d'une série absolument convergente, donc convergente, et donc est une suite
convergente.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud