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Sous-sections

Séries

Dans cette partie on travaillera avec $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$.
Définition On se donne une suite $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$, à valeurs dans $ \mathbb{K}$. On définit $ U_n=\sum_{k=0}^n u_k$. On se pose la question de la convergence de la suite $ U_n$. Si la limite existe, on l'appellera somme de la série et on la notera

$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = lim_{k\to +\infty} U_k$

On dit que $ (U_n)$ est la série de terme général $ (u_n)$.
Définition On dit que la série de terme général $ (u_n)$ converge absolument si la série de terme général $ (\vert u_n\vert)$ converge. Une série est dite semi-convergente si elle converge sans converger absolument.
Définition On dit que deux séries sont de même nature si et seulement si elles sont simultanément convergentes ou simultanément divergentes.
Définition On appelle somme partielle d'ordre $ p$ de la série de terme général $ (u_n)_{n\geq 0}$ la somme $ \sum_{n=0}^p u_n$. On appelle reste d'ordre $ p$ de la série de terme général $ (u_n)_{n\geq 0}$ la somme de la série de terme général $ (v_n)_{n\geq 0}$ définie par $ v_n=u_{n+p}$, lorsque cette série converge. On notera par la suite $ R_p$ le reste à l'ordre $ p$ de la série de terme général $ (U_n)$. On a $ R_p=\sum_{n\geq p} u_n$.
Quelques remarques simples:
$ \bullet $La série de terme générale $ (u_n)$ converge si et seulement si la suite $ n\mapsto \sum_{i=1}^n u_i$ converge.
$ \bullet $s'il y a convergence de la série, alors $ u_n \to 0$.
$ \bullet $la série de terme général $ (x^n)$ converge si et seulement si $ \vert x\vert<1$. Elle converge d'ailleurs si et seulement si elle converge absolument.
$ \bullet $une série converge (resp. converge absolument) si et seulement si son reste à un certain ordre $ p$ converge (resp. converge absolument); et en ce cas son reste à tout ordre converge (resp. converge absolument).
$ \bullet $Si une série converge, alors la suite $ (R_n)$ tend vers 0 en $ +\infty$.
$ \bullet $ $ \mathbb{C}$ et $ \mathbb{R}$ étant complets, on peut directement appliquer le critère de Cauchy aux séries dans ces espaces:
Proposition La série de terme général $ (u_n)$ converge (resp. converge absolument) si et seulement si

$\displaystyle \forall \epsilon \exists N / \forall n>0   \vert\sum_{i=N}^{N+n} u_i\vert < \epsilon $

resp. si et seulement si

$\displaystyle \forall \epsilon \exists N / \forall n>0   \sum_{i=N}^{N+n}\vert u_i \vert < \epsilon $


Application(s)... Voir pour application la partie[*]. $ \bullet $si une série est semi-convergente, alors la série de terme général $ u_n^+=max(u_n,0)$ et la série de terme général $ u_n^-=max(-u_n,0)$ sont divergentes (tendent vers $ +\infty$). $ \bullet $si une série converge absolument alors elle converge (preuve en considérant les parties réelles et imaginaires, et en les décomposant en partie positive et en partie négative - preuve possible aussi en utilisant le critère de Cauchy).

$ \boxcircle$ Séries à termes positifs, absolue convergence

Quelques remarques simples:
Proposition $ \bullet $Une série à termes positifs converge si et seulement si elle est absolument convergente.
$ \bullet $Toute série de terme général extrait du terme général d'une série à termes positifs convergente est convergente, de somme inférieure à la somme de la série initiale.
$ \bullet $Toute série déduite d'une série convergente à termes positifs par permutation (éventuellement infinie) des termes est une série convergente de même somme.
$ \bullet $Si deux séries à termes positifs sont ordonnées par $ u_n \leq v_n$, alors si $ \sum v_n$ converge on peut affirmer que $ \sum u_n$ converge, et si $ \sum u_n$ diverge on peut affirmer que $ \sum u_n$ diverge.
$ \bullet $si $ u_n=O(v_n)$ avec $ v_n$ terme générale d'une série absolument convergente (par exemple une série convergente à termes positifs), alors $ u_n$ est le terme général d'une série absolument convergente (nb: il n'est pas requis que $ u_n$ soit une suite $ \geq 0$).
$ \bullet $Si $ u_n \simeq v_n$ et si l'une de ces deux séries est à termes positifs (au moins au voisinage de l'infini) alors les deux séries sont de même nature.
On déduit notamment de ceci le fait que si $ u_n$ est le terme général d'une série à termes positifs ou nuls, alors les séries de termes généraux $ ln(1+u_n)$ et $ ln(1-u_n)$ sont de même nature (et de même nature que la série de terme général $ u_n$, dans le cas où $ u_n \to 0$).
Application(s)... Si $ u_n$ est une série à terme général positif ou nul, alors $ \Pi (1+u_n)$ converge si et seulement si $ \sum u_n$ converge.

$ \diamond$ Séries de Riemann, séries de Bertrand

Proposition $ \bullet $Série de Riemann: $ x \in \mathbb{R}$, $ \sum 1/n^x$ converge si et seulement si $ x>1$ (démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin) $ \bullet $Série de Bertrand: $ (x,y) \in \mathbb{R}^2$, $ \sum 1/(n^x.ln(n)^y)$ converge si et seulement si $ x>1$ ou ($ x=1$ et $ y>1$) (démonstration par la comparaison avec une intégrale, voir plus loin)
Attention! On trouvera une preuve amusante de ces deux résultats en partie[*] (plus originale que la preuve par comparaison avec une intégrale).

$ \diamond$ Utilisation de $ u_{n+1}/u_n$

Proposition On se donne $ (u_n)$ et $ (v_n)$ $ 2$ suites à termes $ >0$. Alors si $ u_{n+1}/u_n< v_{n+1}/v_n$ (au moins à partir d'un certain rang), alors $ \bullet $la convergence de la série de terme général $ v_n$ entraine la convergence de la série de terme général $ u_n$ $ \bullet $la divergence de la série de terme général $ u_n$ entraine la divergence de la série de terme général $ v_n$
Démonstration: Les deux affirmations étant contraposées, il suffit de prouver la première, et elle n'est pas bien dure en se ramenant à la comparaison de deux séries de termes généraux équivalents, l'une étant positive...$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Critère de D'Alembert] Si $ (u_n)$ est une série à termes positifs telle que $ u_{n+1}/u_n$ tend vers $ k$, alors si $ k<1$ la série converge, et si $ k>1$, alors la série diverge.
Démonstration: $ \bullet $Cas où $ k<1$: on se donne $ k'$ avec $ k<k'<1$; la proposition ci-dessous, jointe au fait que la série de terme général $ k'^n$ converge, permet de conclure que la série de terme général $ u_n$ converge. $ \bullet $Cas où $ k>1$: en prenant $ k'$ tel que $ 1<k'<k$, on constate que la suite $ u_n$ ne tend pas même vers zéro, ce qui serait la moindre des choses pour le terme général d'une série convergente.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \diamond$ Règle de Cauchy

Théorème [Règle de Cauchy] $ u_n>0$, alors $ limsup \sqrt[n]{u_n} = l < 1   \to    \sum u_n $ converge $ limsup \sqrt[n]{u_n} = l > 1   \to    \sum u_n $ diverge
Démonstration: Facile, je ne daigne pas détailler, il suffit dans le premier cas de choisir $ x$ compris entre $ l$ et $ 1$; et dans le deuxième cas, la suite n'a pas même le bon goût de tendre vers 0.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \diamond$ Critère de Raabe-Duhamel (alias $ \frac{u_{n+1}}{u_n}$, suite)

Proposition [Règle de Raabe-Duhamel] Soit $ u_n>0$, avec $ \frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{a}{n}+r_n$, avec $ r_n$ terme général d'une série absolument convergente; alors $ u_n \simeq K/n^a$ pour un certain $ K>0$ (et donc la série de terme général $ u_n$ converge $ \iff a>1$).
Démonstration: On définit $ v_n=ln(n^a.u_n)$; il est clair que si cette suite converge on a bien le résultat souhaité. Or $ v_{n+1}-v_n=ln(u_{n+1}/u_n)+a.ln(\frac{n+1}{n})=-a/n+r_n+O(-a/n+r_n)^2+O(1/n^2)$. En utilisant le fait que $ \vert(a/n).w_n\vert\leq \frac12 (a^2/n^2+w_n^2)$, on en déduit que $ v_{n+1}-v_n=O(1/n^2)+O(r_n^2)+r_n=O(r_n+\frac 1 {n^2})$. Or $ r_n$ et $ \frac1{n^2}$ sont tous deux termes généraux de séries absolument convergentes, donc $ v_{n+1}-v_n$ est terme général d'une série absolument convergente, donc convergente, et donc $ (v_n)$ est une suite convergente.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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