Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
230 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Interversion de limites et de limites next up previous index
suivant: Interversion d'une limite et monter: Interversions précédent: Interversion de limites et   Index

Interversion de limites et de limites

Il s'agit bien sûr d'intervertir une limite au sens d'un espace de fonctions avec une limite au sens de l'espace sur lequel sont définies ces fonctions... Formellement ça donne ça:

Théorème Soit $ X$ un espace topologique, $ A$ une partie de $ X$, $ a$ un point de l'adhérence de $ A$.

Soit $ (E,d)$ un espace métrique, et enfin soit $ f_n$ une suite d'applications de $ A$ dans $ E$, et $ f$ une application de $ A$ de $ E$.

Supposons que :

$ \bullet\ $ $ lim_{x\to a} f_n(x)=e_n$

$ \bullet\ $$ f_n$ converge uniformément vers $ f$ sur $ A$

$ \bullet\ $$ E$ est COMPLET

Alors il existe un certain $ e$ limite de $ e_n$ et $ lim_{x\to a} f(x)=e$


Démonstration:

$ \bullet\ $On considère $ \tilde f_n$ la fonction égale à $ f_n$ sur $ A$ et prolongée par continuité en $ a$ en posant $ \tilde f_n(a)=e_n$; $ \tilde f_n$ est donc continue en $ a$.

$ \bullet\ $On se donne $ \epsilon >0$.

$ \bullet\ $La convergence des $ f_n$ étant uniforme, on peut trouver $ N$ tel que

$\displaystyle n,m>N \Rightarrow \forall x, d(f_n(x),f_m(x))<\epsilon $

$ \bullet\ $On passe à la limite pour $ x\to a$ et on obtient

$\displaystyle n,m>N \Rightarrow d(e_n,e_m) \leq \epsilon $

(ceci implique que la suite $ (e_n)$ est de Cauchy, donc par complétude de $ E$ qu'elle a une certaine limite $ e$)

$ \bullet\ $La convergence de $ \tilde f_n$ est donc uniforme (par le critère de Cauchy pour la norme uniforme) (voir [*])

$ \bullet\ $Les $ \tilde f_n$ étant continues en $ a$, leur limite (uniforme) est donc continue en $ a$ (voir proposition [*]); d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ f_n$ des fonctions continues admettant une limite $ e_n$ en $ a\in \overline A$, à valeurs dans $ E$ espace de Banach, telles que la série des $ f_n$ converge normalement (pour la norme infinie $ {\parallel}.{\parallel}_\infty$) vers $ f$.

Alors la série de terme général $ e_n$ converge vers un certain $ e$, et $ f$ tend vers $ e$ en $ a$.

Démonstration: C'est exactement la même propriété, dans le cas des séries...$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Interversion d'une limite et monter: Interversions précédent: Interversion de limites et   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page