Il s'agit bien sûr d'intervertir une limite au sens d'un espace de fonctions avec une limite au sens de l'espace sur lequel sont définies ces fonctions... Formellement ça donne ça:
Théorème
Soit un espace topologique, une partie de , un point de l'adhérence de .
Soit un espace métrique, et enfin soit une suite d'applications de dans , et une application de de .
Supposons que :
converge uniformément vers sur
est COMPLET
Alors il existe un certain limite de et
Démonstration:
On considère
la fonction égale à sur et prolongée par
continuité en en posant
;
est donc continue en .
On se donne
.
La convergence des étant uniforme, on peut trouver tel que
On passe à la limite pour et on obtient
(ceci implique que la suite est de Cauchy, donc par complétude de qu'elle a une certaine limite )
La convergence de
est donc uniforme (par le critère de Cauchy pour la norme uniforme) (voir )
Les
étant continues en , leur limite (uniforme) est donc continue en (voir proposition ); d'où le résultat.
Corollaire
Soit des fonctions continues admettant une limite en
, à valeurs dans espace de Banach, telles que la série des converge normalement (pour la norme infinie
) vers .
Alors la série de terme général converge vers un certain , et tend vers en .
Démonstration:C'est exactement la même propriété, dans le cas des séries...
un espace topologique
une partie de 
un point de l'adhérence de 
un espace métrique
une suite d'applications de 
, et 
une application de 
limite de 
et
la fonction égale à 
;
.
tel que
et on obtient
est de Cauchy![[*]](/images/crossref.png)
, à valeurs dans 
) vers 
