Définition [Application réglée]
Une application de
dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.
On ne demande pas du tout que la limite à droite soit égale à la limite à gauche, ni qu'aucune de ces deux limites soit égale à la valeur de l'application en ce point.
Les applications réglées ont été définies en parties (sur l'intégrale de Riemann) comme les éléments de l'adhérence de l'ensemble des fonction en escalier (adhérence pour la norme
). Ces deux définitions sont équivalentes pour peu que soit métrique.
Théorème
On se donne un espace de Banach , et une suite d'applications réglées du segment de
dans convergeant uniformément vers .
Alors est réglée et
.
Démonstration:Le fait que soit réglée est un corollaire immédiat du théorème (interversion des limites de suites et de fonctions sous certaines hypothèses).
Pour conclure il suffit d'observer que
.
Corollaire
Si converge normalement (pour la norme
), de segment de
dans un espace de Banach , et si les sont réglées, alors la somme des est une fonction réglée, d'intégrale la somme des intégrales des .
Démonstration:C'est exactement la même propriété, dans le cas des séries.
dans un espace topologique
On ne demande pas du tout que la limite à droite soit égale à la limite à gauche, ni qu'aucune de ces deux limites soit égale à la valeur de l'application en ce point.
Les applications réglées ont été définies ![[*]](/images/crossref.png)
). Ces deux définitions sont équivalentes pour peu que 
soit métrique.
un espace de Banach 
une suite d'applications réglées![$ [a,b]$](/a/a/m/img30.png){kind=small}
de
.
![$ \int_{[a,b]} f=lim\ \int_{[a,b]} f_n$](/a/a/m/img31.png){kind=small}
.
![$ \vert\int_{[a,b]} f-\int_{[a,b]} f_n\vert \leq \int_{[a,b]} \vert f-f_n\vert \leq (b-a) {\parallel}f-f_n {\parallel}_\infty$](/a/a/m/img32.png){kind=small}
.
converge normalement (pour la norme
