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Interversion d'une limite et d'une intégrale

Définition [Application réglée] Une application de $ \mathbb{R}$ dans un espace topologique est dite réglée si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point.

Attention! On ne demande pas du tout que la limite à droite soit égale à la limite à gauche, ni qu'aucune de ces deux limites soit égale à la valeur de l'application en ce point.

Remarque Les applications réglées ont été définies en parties[*] (sur l'intégrale de Riemann) comme les éléments de l'adhérence de l'ensemble des fonction en escalier (adhérence pour la norme $ {\parallel}.{\parallel}_\infty$). Ces deux définitions sont équivalentes pour peu que $ X$ soit métrique.

Théorème On se donne $ E$ un espace de Banach , et $ f_n$ une suite d'applications réglées du segment $ [a,b]$ de $ \mathbb{R}$ dans $ E$ convergeant uniformément vers $ f$.

Alors $ f$ est réglée et $ \int_{[a,b]} f=lim\ \int_{[a,b]} f_n$.

Démonstration: Le fait que $ f$ soit réglée est un corollaire immédiat du théorème [*] (interversion des limites de suites et de fonctions sous certaines hypothèses).

Pour conclure il suffit d'observer que $ \vert\int_{[a,b]} f-\int_{[a,b]} f_n\vert \leq \int_{[a,b]} \vert f-f_n\vert \leq (b-a) {\parallel}f-f_n {\parallel}_\infty$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ \sum f_n$ converge normalement (pour la norme $ {\parallel}.{\parallel}_\infty$), de $ [a,b]$ segment de $ \mathbb{R}$ dans un espace de Banach $ E$, et si les $ f_n$ sont réglées, alors la somme des $ f_n$ est une fonction $ f$ réglée, d'intégrale la somme des intégrales des $ f_n$.

Démonstration: C'est exactement la même propriété, dans le cas des séries.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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