Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
73 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Développement en série entière next up previous index
suivant: Zoologie des séries entières monter: Séries entières précédent: Produit de séries entières   Index

Développement en série entière

Définition [Développement en série entière] On suppose $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$.

Une application $ f$ d'un ouvert $ U$ de $ \mathbb{K}$ dans $ \mathbb{K}$ est dite développable en série entière au voisinage de $ a\in U$ s'il existe $ \sum a_n.z_n$ de rayon de convergence $ r>0$ telle que $ D(a,r) \subset U$ et $ \forall z \in D(a,r)$ on ait $ f(z)=\sum a_n.(z-a)^n$.

$ f$ est dite analytique sur $ V \subset U$ avec $ V$ un ouvert de $ \mathbb{K}$ si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de $ V$.

Théorème Soit $ \sum a_n.z^n$ une série entière de rayon de convergence $ R$. La somme $ f$ de cette série entière est analytique sur son disque ouvert de convergence.

Le développement en série entière de $ f$ en $ a$ est donné sur le disque centré sur $ a$ et de rayon $ R-\vert a\vert$ par

$\displaystyle f(z)=\sum_n \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (z-a)^n$


Démonstration:

$\displaystyle f^{(p)}(z)=\sum_n \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p}z^n$

et donc

$\displaystyle \vert f^{(p)}(z)\vert\leq \sum_n \frac{(n+p)!}{n!} \vert a_{n+p}\vert z^n$

Pour $ z\leq r < R$, on peut donc écrire

$\displaystyle \sum_n \vert\frac{f^{(n)(z)}}{n!}\vert(r-\vert z\vert)^n \leq \su...
...p\geq 0} \frac{(n+p)!}{n!p!}\vert a_{n+p}\vert.\vert z\vert^p(r-\vert z\vert)^n$

Montrons que la série de droite converge; pour cela on limite la somme à $ n$ et $ p$ inférieurs à $ N$ et on fera tendre ensuite $ N$ vers $ +\infty$

$\displaystyle \sum_{0 \leq n,p \leq N} C_{n+p}^n\vert a_{n+p}\vert z\vert^p(r-\vert z\vert)^n$

$\displaystyle \leq \sum_n \vert a_n\vert (\sum_{p=0}^n C_n^p \vert z\vert^p(r-\vert z\vert)^{n-p})$

$\displaystyle \leq \sum_n \vert a_n\vert r^n < \infty $

La série étant absolument convergente, on peut permuter les termes comme on le souhaite, et donc

$\displaystyle \sum_n \frac{f^n(z)}{n!}(z'-z)^n$

$\displaystyle =\sum_{n,p \geq 0} C_{n+p}^p a_{n+p}z^p(z'-z)^n$

$\displaystyle =\sum_n a_n(\sum_{p=0}^n C_n^p z^p(z'-z)^n)$

$\displaystyle =\sum_n a_nz^n$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire L'ensemble des points d'analycité d'une application est ouvert.

Démonstration: Evident au vu du résultat ci-dessus.


next up previous index
suivant: Zoologie des séries entières monter: Séries entières précédent: Produit de séries entières   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page