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L'exponentielle complexe

Définition On appelle exponentielle l'application qui à $ z\in\mathbb{C}$ associe $ \sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{z^n}{n!}$. On la note $ x\mapsto e^x$ ou $ x\mapsto exp(x)$.

NB: Il est à noter que cette série entière est bien définie partout, par le critère de D'Alembert. La convergence de la série est donc uniforme sur tout compact, et $ exp$ est donc holomorphe et entière 1.1. La dérivation terme à terme, légitimée par la convergence uniforme des dérivées (voir théorème [*]), montre que la dérivée de $ exp$ est $ exp$.

D'autres propriétés de l'exponentielle sont fondamentales; on les trouvera dans le formulaire, avec les schémas de preuve, en partie [*].



Notes

... entière1.1
Une fonction entière est une fonction holomorphe sur tout le plan.


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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