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Séries formelles et série génératrice

Définition

Etant donné $ A$ un anneau, on note $ A[[X]]$ et on appelle ensemble des séries formelles sur $ A$ l'ensemble des suites à valeurs dans $ A$. Une telle suite $ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sera notée

$\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n$

On dit parfois aussi que $ \sum a_n X^n$ est la série génératrice associée à la suite $ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

On munit $ A[[X]]$ d'une structure d'anneau en définissant un produit et une somme par

$\displaystyle (\sum_{n=0}^\infty a_nX^n)+(\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=(\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n) X^n)$

$\displaystyle (\sum_{n=0}^\infty a_nX^n) \times (\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (a_kb_{n-k}) X^n$

Etant donnée $ V$ une variable aléatoire à valeurs dans $ \mathbb{N}$, on appelle aussi série génératrice associée à $ V$ la série $ \sum P(V=n) X^n$.


Application(s)... On trouvera une application des séries génératrices aux probabilités dans la partie [*]. Le livre [10] donne aussi une application aux nombres de Catalan (ie c'est un dénombrement basé sur un produit de séries formelles). La proposition [*] est un autre exemple.


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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