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L'indispensable: le lemme d'Abel

Le lemme d'Abel doit être présent en mémoire en toute circonstance et doit pouvoir être exhibé sans la moindre hésitation si un jour quelqu'un vous aborde, pointe un révolver sur vous et vous dit "Le lemme d'Abel ou la vie !".

Lemme [Lemme d'Abel] Soit $ z$ un nombre complexe tel que la suite $ a_n.z^n$ soit bornée. Alors pour tout $ z'$ tel que $ \vert z'\vert\leq\vert z\vert$, la série $ \sum a_n.z'^n$ est absolument convergente.

Démonstration: $ \vert a_n.z'^n\vert = \vert a_n.z^n\vert.\vert z'/z\vert^n\leq M (\frac{\vert z'\vert}{\vert z\vert})^n$, et $ \frac{\vert z'\vert}{\vert z\vert} < 1$... Le résultat en découle.$ \sqcap$$ \sqcup$

Maintenant que me voilà rassuré quant à votre avenir au cas où vous fassiez agresser par un mathématicien amateur désireux (à juste titre) d'apprendre ce résultat fondamental, le lemme d'Abel permet d'introduire une notion fondamentale en matière de séries entières: le rayon de convergence.

Définition Le rayon de convergence de la série entière $ \sum a_n.z^n$ est le sup des réels $ r>0$ tel que $ a_n.z^n$ soit bornée. Le rayon de convergence peut éventuellement être infini.

Théorème [conséquence du lemme d'Abel] Si la série $ \sum a_n.z^n$ est de rayon de convergence $ R$, alors :

$ \bullet\ $pour tout $ z$ de module $ <R$ la série de terme général $ \sum a_n.z^n$ est absolument convergente.

$ \bullet\ $pour tout $ z$ de module $ >R$ la série de terme général $ \sum a_n.z^n$ diverge, et en fait la suite $ a_n.z^n$ n'est pas même bornée.

Démonstration: Il suffit de regarder le lemme d'Abel dans le blanc des yeux.$ \sqcap$$ \sqcup$

Le disque ouvert de centre 0 et de rayon $ R$ s'appelle le disque de convergence. Lorsque $ R=+\infty$, on appelle $ \mathbb{C}$ tout entier le disque de convergence.

Le théorème que l'on vient de voir permet donc de classer les nombres complexes en deux catégories, l'une où la somme est convergente, avec plein de belles propriétés que l'on va voir, et un ensemble où il n'y a pas convergente; toutefois, il reste une zone limite, sur laquelle nous n'avons pas de résultat, et sur laquelle nous en auront bien peu; le cercle de rayon le rayon de convergence, lorsque celui-ci est fini.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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