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A l'intérieur du disque de convergence

Ah, joie du matheux: on va avoir des choses faciles et élégantes à dire.

Théorème [Fondamental] Si $ \sum a_n.z^n$ a pour rayon de convergence $ R$, la série de terme général $ \sum a_n.z^n$ converge normalement, donc uniformément, sur tout compact contenu dans le disque de centre 0 et de rayon $ R$.

Démonstration: Soit $ K$ un tel compact, qu'on va supposer non vide. Alors $ K$ est nécéssairement inclus dans un disque fermé de rayon $ r$ inférieur à $ R$ (en cas contraire considérer une suite $ x_n$ dans $ K$ tels que $ R-\vert x_n\vert<1/n$, et considérer sa limite, qui doit appartenir à $ K$ - tout compact étant fermé).

$ \vert a_n.z^n\vert$ est donc majoré par $ a_n.r^n$, lequel est absolument convergent. D'où la convergence normale.$ \sqcap$$ \sqcup$

Ce théorème va nous permettre de déduire pas mal de petites choses fondamentales:

$ \bullet\ $La somme d'une série entière est continue sur le disque ouvert de convergence (preuve facile: la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue, donc pour prouver la continuité en $ x$ on considère un compact contenant $ x$ et inclus dans le disque de convergence; il y a convergence normale, donc uniforme, sur ce compact)

Attention! Même s'il y a convergence sur un disque FERMÉ on ne peut pas en déduire que la somme est continue sur le disque FERMÉ !

$ \bullet\ $la somme $ f$ de la série entière $ \sum a_n.z^n$ admet pour développement limité à l'ordre $ n$ en 0 $ f(z)=\sum_{k=0}^n a^k.z^k + o(z^n)$ (en fait, plus précisément, $ O(z^{n+1})$) (preuve en écrivant $ f(z)-\sum_{k=0}^n a^k.z^k$, et en factorisant par $ z^{n+1}$; le quotient est une série entière convergente, donc continue en 0).

$ \bullet\ $la somme $ f$ de la série entière $ \sum a_n.z^n$ peut s'approximer uniformément par une suite de polynôme sur le disque fermé de centre 0 et de rayon $ r$ pour tout $ r$ STRICTEMENT inférieur au rayon de convergence. Attention! ATTENTION il ne s'agit pas d'un corollaire du théorème de Weierstrass d'approximation de fonctions continues uniformément par des polynômes car ici les fonctions vont de $ \mathbb{C}$ dans $ \mathbb{C}$! (la preuve est en fait claire par les résultats précédents; un disque fermé est compact, donc on applique le dernier théorème).

On a un résultat parfois utile à souligner aussi:

Théorème Soit $ f$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $ R$. Alors $ f$ admet un prolongement continu sur le disque FERMÉ de rayon $ R$ si et seulement si $ f$ est limite uniforme de polynômes sur le disque ouvert.

Démonstration: Il est clair que si $ f$ est limite uniforme d'une suite de polynômes sur le disque ouvert, alors

Réciproquement, supposons $ f$ prolongée par continuité sur le disque fermé.

$ \bullet\ $Soit $ \epsilon >0$.

$ \bullet\ $$ f$ est uniformément continue sur ce disque, par le théorème [*].

$ \bullet\ $On peut donc déterminer $ \alpha >0$ tel que $ \vert z-z'\vert\leq R.\alpha \Rightarrow \vert f(z)-f(z')\vert \leq \epsilon $.

$ \bullet\ $On peut développer en série entière $ z \mapsto f(\frac{z}{1+\alpha })$ sur le disque ouvert de rayon $ R.(1+\alpha )$. On peut donc approximer cette fonction sur le disque fermé de rayon $ R$.

$ \bullet\ $Soit donc un polynôme $ P$ tel que $ \vert P(z)-f(\frac{z}{1+\alpha })\vert\leq \epsilon $ pour tout $ z$ de module $ \leq R$.

$ \bullet\ $On constate alors que $ z$ et $ z/(1+\alpha )$ sont à une distance $ \leq R.\alpha $; donc par définition de $ \alpha $ trois lignes plus haut, on peut écrire que $ \vert f(z)-f(\frac{z}{1+\alpha }) \vert \leq \epsilon $.

$ \bullet\ $On a donc bien approximé $ f$ par $ P$ à $ 2\epsilon $ près sur le disque fermé.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Bien noter que l'on a écrit que $ f$ était limite uniforme d'une suite de polynômes, mais pas que cette suite de polynômes était la série $ \sum_{k=0}^n a_n.z^n$! Il se peut que ce ne soit pas le cas...


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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