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A la limite du disque de convergence

On va juste présenter quelques cas, pour montrer que tout est possible; soit convergence sur tout le cercle limite, soit divergence sur tout le cercle limite, soit tantôt convergence tantôt divergence...

$ \bullet\ $ $ \sum z^n/n$ a clairement pour rayon de convergence $ 1$. En $ 1$, il est clair que la série diverge. Pour $ z$ de module $ 1$ et différent de $ 1$, alors la somme des $ z^k$ entre 0 et $ n$ est bornée (ça fait $ \frac{1-z^{n+1}}{1-z}$).

$ \bullet\ $$ \sum z^n$ a clairement pour rayon de convergence $ 1$. Et il est non moins clair que sur tout le cercle de rayon $ 1$ la somme diverge.

$ \bullet\ $ $ \sum z^n/n^2$ a toujours aussi clairement un rayon de convergence $ 1$, et il est non moins clair que sur tout le cercle de rayon $ 1$ la somme converge.



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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