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Formule d'Hadamard

Théorème [Formule d'Hadamard] On se donne $ \sum a_n.z^n$ une série entière. Soit $ L=limsup \vert a_n\vert^{1/n}$, alors $ R=1/L$ (avec $ 1/0=+\infty$ et $ 1/+\infty=0$).

Démonstration:

$ \bullet\ $Cas $ 0<L<+\infty$: soit $ R=1/L$, montrons que $ R$ est rayon de convergence.

- si $ \vert z\vert<R$, $ a_n.z^n=O((L.\vert z\vert)^n)$, or $ L.\vert z\vert$ est plus petit que $ 1$; donc notre série est un $ O()$ d'une série absolument convergente, donc elle converge absolument.

- si $ \vert z\vert>R$, $ a_n.z^n$ ne tend pas vers 0, car son $ limsup$ ne tend pas vers 0.

$ \bullet\ $Les autres cas se déduisent facilement de celui-ci... $ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Règle de D'Alembert] On se donne $ \sum a_n.z^n$ une série entière. On suppose que les $ a_n$ sont non nuls, au moins à partir d'un certain rang, et on suppose que $ a_{n+1}/a_n$ tend vers $ L$. Alors $ R=1/L$.

Démonstration:

Ce théorème est une conséquence immédiate du critère de D'Alembert [*] dans le détermination de la convergence de séries.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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