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Formule d'Hadamard

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Formule d'Hadamard

Théorème [Formule d'Hadamard] On se donne $\sum a_n.z^n$ une série entière. Soit $L=limsup \vert a_n\vert^{1/n}$ , alors (avec $1/0=+\infty$ et $1/+\infty=0$ ).

Démonstration:

$\bullet\$ Cas $0<L<+\infty$ : soit , montrons que est rayon de convergence.

- si $\vert z\vert<R$ , $a_n.z^n=O((L.\vert z\vert)^n)$ , or $L.\vert z\vert$ est plus petit que ; donc notre série est un d'une série absolument convergente, donc elle converge absolument.

- si $\vert z\vert>R$ , ne tend pas vers 0, car son ne tend pas vers 0.

$\bullet\$ Les autres cas se déduisent facilement de celui-ci... $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Règle de D'Alembert] On se donne $\sum a_n.z^n$ une série entière. On suppose que les sont non nuls, au moins à partir d'un certain rang, et on suppose que $a_{n+1}/a_n$ tend vers . Alors .