Théorème [Formule d'Hadamard]
On se donne
une série entière. Soit
, alors (avec
et
).
Démonstration:
Cas
: soit , montrons que est rayon de convergence.
- si ,
, or est plus petit que ; donc notre série est un d'une série absolument convergente, donc elle converge absolument.
- si , ne tend pas vers 0, car son ne tend pas vers 0.
Les autres cas se déduisent facilement de celui-ci...
Théorème [Règle de D'Alembert]
On se donne
une série entière. On suppose que les sont non nuls, au moins à partir d'un certain rang, et on suppose que
tend vers . Alors.
Démonstration:
Ce théorème est une conséquence immédiate du critère de D'Alembert dans le détermination de la convergence de séries.