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Dérivation des séries entières

Définition On se donne $ \sum_{n\geq 0} a_n.z^n$ une série entière; on appelle série dérivée d'ordre $ p$ la série $ \sum_{n\geq 0} \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p}.z^n$.

On appelle série dérivée (tout court!) d'une série entière la série dérivée d'ordre $ 1$.

Théorème La série dérivée $ \sum_{n\geq 0} \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p}.z^n$ de la série $ \sum a_n.z^n$ une série entière de rayon de convergence $ R$ a le même rayon de convergence $ R$.

Démonstration:

$ \bullet\ $On procède par récurrence, la série dérivée d'ordre $ p$ étant la dérivée d'ordre $ 1$ de la dérivée d'ordre $ p-1$; il suffit de montrer le résultat pour $ p=1$.

$ \bullet\ $On suppose donc $ p=1$.

$ \bullet\ $La série dérivée est donc une série de terme général $ (n/z).a_n.z^n$. Donc en valeur absolue pour $ n\geq z$, le terme général est supérieur en module à celui de la série $ \sum a_n.z_n$. Donc le rayon de convergence est inférieur ou égal à $ R$.

$ \bullet\ $Montrons maintenant qu'il est supérieur ou égal à $ R$. On se donne $ z$ de module $ <R$, et un réel $ r<R$ tel que $ \vert z\vert<r<R$.

$ \bullet\ $ $ (n+1).\vert a_{n+1}\vert.\vert z\vert^n \leq ((\frac{\vert z\vert}{r})^{n+1}.(n+1)/z).\vert a_{n+1}\vert.\vert r\vert^{n+1}$

$ \bullet\ $Le terme ci-dessus est plus petit que $ \vert a_{n+1}\vert.\vert r\vert^{n+1}$ pour $ n$ assez grand.$ \sqcap$$ \sqcup$

Un corollaire immédiat:

Corollaire Si $ f$ est une somme de série entière, alors $ f^{(n)}(0)$ est égal à $ n!.a_n$ avec $ f=\sum a_n.z_n$.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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