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Produit de séries entières

Définition Etant donnée deux séries entières $ \sum_{n\geq 0} a_nz^n$ et $ \sum_{n\geq 0}b_nz^n$, on définit la série entière produit par $ \sum_{n\geq 0} c_nz^n$, avec $ c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$, et la séries entière somme par $ \sum_{n\geq 0} d_nz^n$ avec $ d_n=a_n+b_n$.

Il est bien évident que le rayon de convergence de la série entière somme de deux séries entières est au moins le $ \min$ $ R$ des deux rayons de convergence, et que la fonction somme est dans le disque $ D(0,R)$ la somme des deux fonctions sommes des deux autres séries.

En appliquant les résultats de la partie [*] on montre facilement que deux séries entières $ \sum a_n z^n$ et $ \sum b_n z_n$ de rayon de convergence $ \geq R$ on un produit convergeant sur le disque $ D(0,R)$ ($ R$ toujours le $ \min$ des deux rayons de convergence) et que la série produit sur $ D(0,R)$ a une somme égale au produit des deux fonctions sommes obtenues pour les deux séries entières.



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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