Produit de séries entières

Définition Etant donnée deux séries entières $\sum_{n\geq 0} a_nz^n$ et $\sum_{n\geq 0}b_nz^n$ , on définit la série entière produit par $\sum_{n\geq 0} c_nz^n$ , avec $c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ , et la séries entière somme par $\sum_{n\geq 0} d_nz^n$ avec .

Il est bien évident que le rayon de convergence de la série entière somme de deux séries entières est au moins le $\min$ des deux rayons de convergence, et que la fonction somme est dans le disque la somme des deux fonctions sommes des deux autres séries.

En appliquant les résultats de la partie on montre facilement que deux séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z_n$ de rayon de convergence $\geq R$ on un produit convergeant sur le disque ( toujours le $\min$ des deux rayons de convergence) et que la série produit sur a une somme égale au produit des deux fonctions sommes obtenues pour les deux séries entières.