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Définitions et généralités

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Définitions et généralités

Définition Soient et deux applications de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ mesurables.

Alors on appelle produit de convolution de et et on note la fonction $x\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)$ .

La convolution servira beaucoup, beaucoup, beaucoup, pour les résultats d'approximation de la partie (notamment une version utile du lemme d'Urysohn ) et de la partie , consacrée à la convolution en probabilités.

Proposition

$\displaystyle f* g=g* f$

Démonstration: Résulte simplement du changement de variable . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Domaine de définition de ] $\bullet$ Si et sont alors est et défini presque partout, et ${\parallel}fg {\parallel}_1 \leq {\parallel}f {\parallel}_1 {\parallel}g {\parallel}_1$ .

$\bullet$ Si est $L^\infty$ et alors est $L^\infty$ et défini presque partout.

$\bullet$ Si est bornée sur tout compact et si est à support compact alors est défini partout.

Ce résultat est utilisé par exemple dans la proposition .

Démonstration:

$\bullet$ Simple application de Fubini (théorème ).

$\bullet$ Facile, $\int_{\mathbb{R}^n} \vert f(x-y)g(y)\vert d\mu(y) \leq M\int_{\mathbb{R}^n} \vert g(y)\vert d\mu(y)$ avec un majorant essentiel de $\vert f\vert$ .

$\bullet$ Facile aussi, admet un majorant sur le compact en dehors du quel est nul. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème

Si est et si est , pour $p\in [1,\infty]$ , alors est définie presque partout et appartient à ; en outre ${\parallel}f*g {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_1 {\parallel}g {\parallel}_\infty$ .

Démonstration:

Si $p=\infty$ , c'est clair, si , c'est le théorème précédent.

Considérons donc maitenant $1<p<\infty$ .

$\bullet$ $y \mapsto g(y)^p$ est .

$\bullet$ $\int \vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert^p dy$ est fini, par le cas .

$\bullet$ Posons tel que $\frac1p+\frac1q=1$ .

$\bullet$ $\int (\vert f(x-y)\vert^{1/p} \vert g(y)\vert)^pdy$ est fini

$\bullet$ Puisque $\int (\vert f(x-y)\vert^{1/q})^qdy$ est fini aussi, et par l'inégalité de Hölder ,

$\displaystyle \int \vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert dy$

est fini aussi et

$\displaystyle \leq (\int (\vert f(x-y)\vert^{1/p} \vert g(y)\vert)^pdy)^{1/p}(\int \vert f(x-y)\vert)^{1/q}$

$\displaystyle \leq (\int(\vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert^p)dy)^{1/p}(\int \vert f(x-y)\vert)^{1/q}$

par le cas

$\displaystyle \leq {\parallel}f(x-.){\parallel}_1^{1/p} {\parallel}g(.)^p {\parallel}_1^{1/p} {\parallel}f(x-.) {\parallel}_1^{1/q}$

$\displaystyle \leq {\parallel}f {\parallel}_1 {\parallel}g {\parallel}_p$

D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition Soit une application définie sur un espace topologique X et à valeur dans $\mathbb{C}$ . On appelle support de l'adhérence de l'ensemble

$\displaystyle \{x \in X ; f(x)=0 \}.$

On dit que

est à support compact si son suppport est compact.

Théorème [Propriété fondamentale du produit de convolution] $\bullet$ Si est et si est à support compact, alors est . En outre pour tout $\nu$ tel que $\vert\nu\vert\leq k$ $D^\nu(f*g)=(D^\nu f)*g$ .

$\bullet$ On a le même résultat si est à support compact et .

Ce théorème a pour conséquence la propositon , ou le résultat d'approximation . Il servira aussi pour le théorème : la densité de l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact dans $C^k(\mathbb{R}^n)$ .

Démonstration:

On démontre simplement le premier $\bullet$ , le second étant similaire.

$\bullet$ On montre le résultat sur toute boule ; c'est clairement suffisant pour avoir le résultat désiré.

$\bullet$ On se donne tel que le support de soit inclus dans la boule .

$\bullet$ Pour tout dans et tout tel que est non nul, est dans .

$\bullet$ Il existe tel que la somme des $\vert D^\nu f\vert$ pour $\vert\nu\vert\leq k$ soit inférieure à sur .

$\bullet$ On procède alors par récurrence.

$\bullet$ L'initialisation de la récurrence, le cas , est simplement une continuité sous le signe intégral (voir théorème ).

$\bullet$ Ensuite on suppose le résultat vrai jusqu'au rang , et on se donne $\nu$ tel que $\vert\nu\vert=k+1$ ; alors pour un certain $D^\nu={\frac{\partial }{\partial x_i}}D^\eta$ pour un certain $\eta$ .