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Définitions et généralités

Définition Soient $ f$ et $ g$ deux applications de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$ mesurables.

Alors on appelle produit de convolution de $ f$ et $ g$ et on note $ f*g$ la fonction $ x\mapsto \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)$.

Application(s)... La convolution servira beaucoup, beaucoup, beaucoup, pour les résultats d'approximation de la partie [*] (notamment une version utile du lemme d'Urysohn [*]) et de la partie [*], consacrée à la convolution en probabilités.

Proposition

$\displaystyle f* g=g* f$

Démonstration: Résulte simplement du changement de variable $ u=x-y$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Domaine de définition de $ f*g$] $ \bullet $Si $ f$ et $ g$ sont $ L^1$ alors $ f*g$ est $ L^1$ et défini presque partout, et $ {\parallel}fg {\parallel}_1 \leq {\parallel}f {\parallel}_1  {\parallel}g {\parallel}_1$.

$ \bullet $Si $ f$ est $ L^\infty$ et $ g$ $ L^1$ alors $ f*g$ est $ L^\infty$ et défini presque partout.

$ \bullet $Si $ f$ est bornée sur tout compact et si $ g$ est $ L^1$ à support compact alors $ f*g$ est défini partout.

Application(s)... Ce résultat est utilisé par exemple dans la proposition [*].

Démonstration:

$ \bullet $Simple application de Fubini (théorème [*]).

$ \bullet $Facile, $ \int_{\mathbb{R}^n} \vert f(x-y)g(y)\vert d\mu(y) \leq M\int_{\mathbb{R}^n} \vert g(y)\vert d\mu(y)$ avec $ M$ un majorant essentiel de $ \vert f\vert$.

$ \bullet $Facile aussi, $ f(x-.)$ admet un majorant sur le compact en dehors du quel $ g(.)$ est nul.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème

Si $ f$ est $ L^1$ et si $ g$ est $ L^p$, pour $ p\in [1,\infty]$, alors $ f*g$ est définie presque partout et appartient à $ L^p$; en outre $ {\parallel}f*g {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_1 {\parallel}g {\parallel}_\infty$.

Démonstration:

Si $ p=\infty$, c'est clair, si $ p=1$, c'est le théorème précédent.

Considérons donc maitenant $ 1<p<\infty$.

$ \bullet $ $ y \mapsto g(y)^p$ est $ L^1$.

$ \bullet $ $ \int \vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert^p dy$ est fini, par le cas $ p=1$.

$ \bullet $Posons $ q$ tel que $ \frac1p+\frac1q=1$.

$ \bullet $ $ \int (\vert f(x-y)\vert^{1/p} \vert g(y)\vert)^pdy$ est fini

$ \bullet $Puisque $ \int (\vert f(x-y)\vert^{1/q})^qdy$ est fini aussi, et par l'inégalité de Hölder [*],

$\displaystyle \int \vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert dy$

est fini aussi et

$\displaystyle \leq (\int (\vert f(x-y)\vert^{1/p} \vert g(y)\vert)^pdy)^{1/p}(\int \vert f(x-y)\vert)^{1/q}$

$\displaystyle \leq (\int(\vert f(x-y)\vert \vert g(y)\vert^p)dy)^{1/p}(\int \vert f(x-y)\vert)^{1/q}$

par le cas $ p=1$

$\displaystyle \leq {\parallel}f(x-.){\parallel}_1^{1/p} {\parallel}g(.)^p {\parallel}_1^{1/p} {\parallel}f(x-.) {\parallel}_1^{1/q}$

$\displaystyle \leq {\parallel}f {\parallel}_1 {\parallel}g {\parallel}_p$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Soit $ f$ une application définie sur un espace topologique X et à valeur dans $ \mathbb{C}$. On appelle support de $ f$ l'adhérence de l'ensemble

$\displaystyle \{x \in X ; f(x)=0 \}.$

On dit que $ f$ est à support compact si son suppport est compact.

Théorème [Propriété fondamentale du produit de convolution] $ \bullet $Si $ f$ est $ C^k$ et si $ g$ est $ L^1$ à support compact, alors $ f*g$ est $ C^k$. En outre pour tout $ \nu$ tel que $ \vert\nu\vert\leq k$ $ D^\nu(f*g)=(D^\nu f)*g$.

$ \bullet $On a le même résultat si $ f$ est $ C^k$ à support compact et $ g$ $ L^1$.

Application(s)... Ce théorème a pour conséquence la propositon [*], ou le résultat d'approximation [*]. Il servira aussi pour le théorème [*]: la densité de l'ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact dans $ C^k(\mathbb{R}^n)$.

Démonstration:

On démontre simplement le premier $ \bullet $, le second étant similaire.

$ \bullet $On montre le résultat sur toute boule $ B=B(0,R)$; c'est clairement suffisant pour avoir le résultat désiré.

$ \bullet $On se donne $ R'$ tel que le support de $ G$ soit inclus dans la boule $ B(0,R')$.

$ \bullet $Pour tout $ x$ dans $ B$ et tout $ y$ tel que $ g(y)$ est non nul, $ x+y$ est dans $ B(0,R+R')$.

$ \bullet $Il existe $ M$ tel que la somme des $ \vert D^\nu f\vert$ pour $ \vert\nu\vert\leq k$ soit inférieure à $ M$ sur $ B(0,R+R')$.

$ \bullet $On procède alors par récurrence.

$ \bullet $L'initialisation de la récurrence, le cas $ k=0$, est simplement une continuité sous le signe intégral (voir théorème [*]).

$ \bullet $Ensuite on suppose le résultat vrai jusqu'au rang $ k$, et on se donne $ \nu$ tel que $ \vert\nu\vert=k+1$; alors pour un certain $ i$ $ D^\nu={\frac{\partial }{\partial x_i}}D^\eta$ pour un certain $ \eta$.

$ \bullet $Les trois points suivants sont clairement vérifiés:

$\displaystyle y \mapsto D^\eta f(x-y)g(y)$

est intégrable

$\displaystyle x \mapsto D^\eta f(x-y)g(y)$

est $ C^1$

$\displaystyle \vert D^\nu f(x-y)\vert \vert g(y)\vert \leq M\vert g(y)\vert$

$ \bullet $Alors :

$\displaystyle D^\nu \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)$

$\displaystyle ={\frac{\partial }{\partial x_i}}D^\eta \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)d\mu(y)$

$\displaystyle ={\frac{\partial }{\partial x_i}}\int_{\mathbb{R}^n} D^\eta f(x-y)g(y)d\mu(y)$

(par hypothèse de récurrence)

$\displaystyle =\int_{\mathbb{R}^n} {\frac{\partial }{\partial x_i}}D^\eta f(x-y)g(y)d\mu(y)$

(grâce aux résultats affirmés dans le $ \bullet $précédent et grâce au théorème [*])

$\displaystyle =\int_{\mathbb{R}^n} D^\nu f(x-y)g(y)d\mu(y)$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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