Une fonction FONDAMENTALE pour la convolution

Proposition Il existe une certaine fonction de dans , positive, d'intégrale , de support inclus dans .

Démonstration: On peut par exemple considérer , pour convenablement choisi. On trouvera au lemme une preuve du fait que cette fonction est convenable.

Voir lemme pour une liste d'applications.

Corollaire

Pour tout , il existe une fonction , de support inclus dans , et d'intégrale .

Démonstration: On utilise simplement la fonction définie en , avec , avec convenablement choisi.

On a des applications aux résultats d'approximation suivantes:

- Approximation d'ensembles mesurables par des fonctions , voir proposition .

- Approximations de fonctions par des fonctions à support compact; voir le théorème .

- Approximations de fonctions par des fonctions à support compact: voir le théorème .