Une fonction FONDAMENTALE pour la convolution
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Proposition
Il existe une certaine fonction  de
dans
,
positive, d'intégrale , de support inclus dans .
Démonstration: On peut par exemple considérer
, pour convenablement choisi. On trouvera au lemme ![[*]](/images/crossref.png) une preuve du fait que cette fonction est convenable.
Voir lemme ![[*]](/images/crossref.png) pour une liste d'applications.
Corollaire
Pour tout , il existe une fonction
 , de support inclus dans
, et d'intégrale .
Démonstration: On utilise simplement la fonction définie en ![[*]](/images/crossref.png) , avec
, avec convenablement choisi.
On a des applications aux résultats d'approximation suivantes:
- Approximation d'ensembles mesurables par des fonctions , voir proposition ![[*]](/images/crossref.png) .
- Approximations de fonctions par des fonctions à support compact; voir le théorème ![[*]](/images/crossref.png) .
- Approximations de fonctions par des fonctions à support compact: voir le théorème ![[*]](/images/crossref.png) .
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
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