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Séries trigonométriques

Définition Une fonction $ f$ est dite $ T$-périodique si pour tout $ x$ $ f(x+T)=f(x)$.
Pour $ p$ fini on note $ {\mathfrak{L}}^p$ l'espace $ L^P_\mathbb{C}([-\pi,\pi])$ 1.1 pour la mesure de Lebesgue, mais avec une norme divisée par $ 2\pi$, c'est à dire que $ {\parallel}f {\parallel}=(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \vert f(x)\vert^p.dx)^{\frac1p}$.
On note $ {\mathfrak{L}}^\infty$ l'espace $ L^\infty_\mathbb{C}([-\pi,\pi])$ pour la mesure de Lebesgue.
On appelle polynôme trigonométrique une application de la forme $ t\mapsto a_0+\sum_{i=1}^N a_i.cos(i.t) + b_i.sin(i.t)$, pour $ N \in \mathbb{N}$, $ a_i \in \mathbb{C}$, $ b_i \in \mathbb{C}$.
Le produit scalaire hermitien usuel sur $ {\mathfrak{L}}^2$ est l'application $ (f,g) \mapsto \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \overline {f(t)}.g(t).dt$. Il s'agit bien d'un produit scalaire hermitien.
On note $ u_n$ l'application $ t \mapsto e^{int}$, pour $ n \in \mathbb{Z}$. Nous verrons plus loin qu'il s'agit d'une base hilbertienne de $ {\mathfrak{L}}^2$.

Remarques 1   $ \bullet\ $On identifiera par la suite (sans préavis!) une fonction définie sur $ [-\pi,\pi]$ à une fonction périodique de période $ 2\pi$. A part dans les cas où la continuité est importante, on se préoccupera peu du problème de définition en $ \pi$, puisque l'on travaillera généralement sur des propriétés vraies presque partout pour la mesure de Lebesgue.

$ \bullet\ $Il y a une renormalisation (la division par $ 2\pi$ pour la mesure de Lebesgue) pour $ p$ fini et pas pour $ p$ infini; cela ne serait pas le cas si l'on raisonnait sur $ [0,1]$ au lieu de $ [-\pi,\pi]$.

$ \bullet\ $On peut réécrire un polynône trigonométrique sous la forme $ t \mapsto \sum_{i=-N}^N c_n.e^{int}$, avec $ N \in \mathbb{N}$ et $ c_i\in \mathbb{C}$ (et réciproquement, une telle fonction est toujours un polynôme trigonométrique).

$ \bullet\ $Un polynône trigonométrique est $ 2\pi$-périodique.

Théorème La famille $ (u_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ est une base hilbertienne de $ {\mathfrak{L}}^2$.

Démonstration: $ \bullet\ $Il est clair qu'il s'agit d'une famille orthonormale.

$ \bullet\ $Il suffit d'appliquer [*] et de montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l'ensemble des fonctions continues de $ [-\pi,\pi]$ dans $ \mathbb{C}$ (on utilise la densité de $ C^0([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ dans $ {\cal L}^2$). Pour cela, on procède comme suit:

- on considère $ f$ une fonction continue de $ [-\pi,\pi]$ dans $ \mathbb{C}$

- on définit $ P_n(t)=\frac{(\frac{1+cos(t)}2)^n}{\int_{-\pi}^{\pi} (\frac{1+cos(t)}2)^n.dt}$

On constate (grâce à la linéarisation) que $ P_n$ est un polynôme trigonométrique positif, d'intégrale $ 1$, convergeant uniformément vers 0 sur $ [-\pi,-\partial ]\cup[\partial ,+\pi]$ pour tout $ \partial \in ]0,\pi[$. Intuitivement, $ P_n$ tend vers une fonction comportant une pointe en 0 et nulle partout ailleurs.

- on définit $ f_n(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(t)P(x-t).dx$. En remarquant que le translaté d'un polynôme trigonométrique est un polynôme trigonométrique, on montre que $ f_n$ est un polynôme trigonométrique.

- on montre alors que la norme infinie de $ f_n-f$ tend vers 0, et donc la norme $ 2$ aussi puisque $ [-\pi,\pi]$ est de mesure finie (oui, je passe sous silence le calcul, désolé...).$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

...\space 1.1
attention, ne pas confondre $ {\mathfrak L}^p$ et $ {\cal L}^p$, ce dernier désignant l'ensemble des fonctions dont la puissance $ p$-ième est intégrable, AVANT de quotienter pour la relation d'égalité presque partout - par passage au quotient on obtient $ L^p$, et en spécialisant aux fonctions définies sur $ [-\pi,\pi]$ on obtient $ {\mathfrak L}^p$.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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