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Séries trigonométriques

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Séries trigonométriques

Définition Une fonction est dite -périodique si pour tout .
Pour fini on note ${\mathfrak{L}}^p$ l'espace $L^P_\mathbb{C}([-\pi,\pi])$ ^1.1 pour la mesure de Lebesgue, mais avec une norme divisée par $2\pi$ , c'est à dire que ${\parallel}f {\parallel}=(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \vert f(x)\vert^p.dx)^{\frac1p}$ .
On note ${\mathfrak{L}}^\infty$ l'espace $L^\infty_\mathbb{C}([-\pi,\pi])$ pour la mesure de Lebesgue.
On appelle polynôme trigonométrique une application de la forme $t\mapsto a_0+\sum_{i=1}^N a_i.cos(i.t) + b_i.sin(i.t)$ , pour $N \in \mathbb{N}$ , $a_i \in \mathbb{C}$ , $b_i \in \mathbb{C}$ .
Le produit scalaire hermitien usuel sur ${\mathfrak{L}}^2$ est l'application $(f,g) \mapsto \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \overline {f(t)}.g(t).dt$ . Il s'agit bien d'un produit scalaire hermitien.
On note l'application $t \mapsto e^{int}$ , pour $n \in \mathbb{Z}$ . Nous verrons plus loin qu'il s'agit d'une base hilbertienne de ${\mathfrak{L}}^2$ .

Remarques 1 $\bullet\$ On identifiera par la suite (sans préavis!) une fonction définie sur $[-\pi,\pi]$ à une fonction périodique de période $2\pi$ . A part dans les cas où la continuité est importante, on se préoccupera peu du problème de définition en $\pi$ , puisque l'on travaillera généralement sur des propriétés vraies presque partout pour la mesure de Lebesgue.

$\bullet\$ Il y a une renormalisation (la division par $2\pi$ pour la mesure de Lebesgue) pour fini et pas pour infini; cela ne serait pas le cas si l'on raisonnait sur au lieu de $[-\pi,\pi]$ .

$\bullet\$ On peut réécrire un polynône trigonométrique sous la forme $t \mapsto \sum_{i=-N}^N c_n.e^{int}$ , avec $N \in \mathbb{N}$ et $c_i\in \mathbb{C}$ (et réciproquement, une telle fonction est toujours un polynôme trigonométrique).

$\bullet\$ Un polynône trigonométrique est $2\pi$ -périodique.

Théorème La famille $(u_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ est une base hilbertienne de ${\mathfrak{L}}^2$ .

Démonstration: $\bullet\$ Il est clair qu'il s'agit d'une famille orthonormale.

$\bullet\$ Il suffit d'appliquer et de montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l'ensemble des fonctions continues de $[-\pi,\pi]$ dans $\mathbb{C}$ (on utilise la densité de $C^0([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ dans ${\cal L}^2$ ). Pour cela, on procède comme suit:

- on considère une fonction continue de $[-\pi,\pi]$ dans $\mathbb{C}$

- on définit $P_n(t)=\frac{(\frac{1+cos(t)}2)^n}{\int_{-\pi}^{\pi} (\frac{1+cos(t)}2)^n.dt}$

On constate (grâce à la linéarisation) que est un polynôme trigonométrique positif, d'intégrale , convergeant uniformément vers 0 sur $[-\pi,-\partial ]\cup[\partial ,+\pi]$ pour tout $\partial \in ]0,\pi[$ . Intuitivement, tend vers une fonction comportant une pointe en 0 et nulle partout ailleurs.

- on définit $f_n(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(t)P(x-t).dx$ . En remarquant que le translaté d'un polynôme trigonométrique est un polynôme trigonométrique, on montre que est un polynôme trigonométrique.

- on montre alors que la norme infinie de tend vers 0, et donc la norme aussi puisque $[-\pi,\pi]$ est de mesure finie (oui, je passe sous silence le calcul, désolé...). $\sqcap$ $\sqcup$

Notes

...\space ^1.1: attention, ne pas confondre ${\mathfrak L}^p$ et ${\cal L}^p$ , ce dernier désignant l'ensemble des fonctions dont la puissance -ième est intégrable, AVANT de quotienter pour la relation d'égalité presque partout - par passage au quotient on obtient , et en spécialisant aux fonctions définies sur $[-\pi,\pi]$ on obtient ${\mathfrak L}^p$ .