Définition
Une fonction est dite -périodique si pour tout .
Pour fini on note l'espace
1.1 pour la mesure de Lebesgue, mais avec une norme divisée par , c'est à dire que
.
On note l'espace
pour la mesure de Lebesgue.
On appelle polynôme trigonométrique une application de la forme
, pour
,
,
.
Le produit scalaire hermitien usuel sur
est l'application
. Il s'agit bien d'un produit scalaire hermitien.
On note l'application
, pour
. Nous verrons plus loin qu'il s'agit d'une base hilbertienne de
.
Remarques 1On identifiera par la suite (sans préavis!) une fonction définie sur
à une fonction périodique de période . A part dans les cas où la continuité est importante, on se préoccupera peu du problème de définition en , puisque l'on travaillera généralement sur des propriétés vraies presque partout pour la mesure de Lebesgue.
Il y a une renormalisation (la division par pour la mesure de Lebesgue) pour fini et pas pour infini; cela ne serait pas le cas si l'on raisonnait sur au lieu de
.
On peut réécrire un polynône trigonométrique sous la forme
, avec
et
(et réciproquement, une telle fonction est toujours un polynôme trigonométrique).
Un polynône trigonométrique est -périodique.
Théorème
La famille est une base hilbertienne de
.
Démonstration:Il est clair qu'il s'agit d'une famille orthonormale.
Il suffit d'appliquer et de montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l'ensemble des fonctions continues de
dans
(on utilise la densité de
dans
). Pour cela, on procède comme suit:
- on considère une fonction continue de
dans
- on définit
On constate (grâce à la linéarisation) que est un polynôme trigonométrique positif, d'intégrale , convergeant uniformément vers 0 sur
pour tout
. Intuitivement, tend vers une fonction comportant une pointe en 0 et nulle partout ailleurs.
- on définit
. En remarquant que le translaté d'un polynôme trigonométrique est un polynôme trigonométrique, on montre que est un polynôme trigonométrique.
- on montre alors que la norme infinie de tend vers 0, et donc la norme aussi puisque
est de mesure finie (oui, je passe sous silence le calcul, désolé...).
attention, ne pas confondre
et
, ce dernier désignant l'ensemble des fonctions dont la puissance -ième est intégrable, AVANT de quotienter pour la relation d'égalité presque partout - par passage au quotient on obtient , et en spécialisant aux fonctions définies sur
on obtient
.