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Séries de Fourier d'une fonction périodique

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Séries de Fourier d'une fonction périodique

Pour étudier une fonction périodique, on se ramène au cas d'une période $2\pi$ , et on la considère définie sur $[-\pi,\pi]$ .

Définition Soit dans ${\mathfrak{L}}^1$ . Alors on définit les coefficients de Fourier de pour $n \in \mathbb{Z}$ par

$\displaystyle \hat f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i.n.t}.f(t).dt$

On appelle noyau de Dirichlet d'ordre l'application $x \mapsto \sum_{i=-n}^n u_i(x)$ . On le note .

On appelle noyau de Féjer d'ordre l'application

$\displaystyle x \mapsto \frac{\sum{i=0}^{n-1} D_i}n$

On le note .

On note et on appelle somme de Fourier d'ordre la somme $\sum_{i=-n}^n \hat f(n) u_n$ .

On note $\sigma _n(f)$ et on appelle somme de Féjer d'ordre la somme $\frac{\sum_{i=0}^{n-1} s_i}n$ .

On appelle série de Fourier associée à la série

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat f(n).e^{i.n.t}$

$\frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi u_n = 1$ si et 0 sinon, ce qui implique que pour tout $n\geq 0$ on a $\frac1{2\pi}D_n=1$ et pour tout $n\geq 1$ on a $\frac1{2\pi}K_n=1$ .

On a $s_n(f)=\frac1{2\pi} D_n * f$ et $\sigma _n(f)=\frac1{2\pi} K_n *f$ (avec par définition $(g*f)(x)=\int_{-\pi}^\pi g(t)f(x-t)dt$ , produit de convolution) ce qui justifie le terme de noyau.

Bien noter le signe "-" dans l'exponentielle de la formule.
On remarque que si $f \in {\mathfrak{L}}^2$ , alors $f \in {\mathfrak{L}}^1$ , et $\hat f(n)=(u_n , f)$ .

Proposition On a isomorphisme isométrique entre ${\cal L}^2$ et $l^2(\mathbb{Z})$ , donné par $f \mapsto \hat f$ .

Démonstration: C'est simplement une reformulation du théorème . $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Toute fonction dans ${\cal L}^2$ est somme de sa série de Fourier pour ${\cal L}^2$ (c'est à dire que la série de Fourier de tend vers pour la norme et pour dans ${\cal L}^2$ ).

Démonstration: C'est simplement une reformulation de la relation de Parseval (théorème ). $\sqcap$ $\sqcup$

Il n'y a pas convergence simple de la série de Fourier vers , même si est continue! $\sqcap$ $\sqcup$

Un problème majeur va être de montrer des résultats similaires dans ${\cal L}^1$ .

Proposition

$\displaystyle D_n(x)=\frac{sin((n+1/2)x)}{sin(x/2)}$

$\displaystyle K_n(x)=\frac1n \left(\frac{sin(nx/2)}{sin(x/2)}\right)^2$

Démonstration:

Si n'est pas multiple de $2\pi$ , alors

$\displaystyle D_n(x)=u_{-n}(x) \sum_{k=0}^{2n} u_k(x)$

$\displaystyle =u_{-n}(x) \frac{(e^{ix})^{2n+1}-1}{e^{ix}-1}$

$\displaystyle =\frac{e^{ix(n+1/2)}}{e^{ix/2}} \frac{e^{ix(n+1/2)}-e^{-ix{n+1/2}}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}$

$\displaystyle =\frac{sin((n+1/2)x)}{sin(x/2)}$

D'où le résultat sur

(si

est multiple de $2\pi$ ,

, qui est l'unique prolongement par continuité de $\frac{sin(n+\frac12x)}{sin(x/2)}$ ).

Toujours pour non multiple de $2\pi$ ,

$\displaystyle K_n(x)=\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{sin((k+1/2)x)}{sin(x/2)}$

$\displaystyle =\frac1{nsin(x/2)} Im\left (\sum_{k=0}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}\right)$

$\displaystyle =\frac1{nsin(x/2)} Im\left(e^{ix/2} \frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}\right)$

$\displaystyle =\frac{sin(nx/2)^2}{nsin(x/2)^2}$

D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Deux résultats distincts, prouvés de manières similaires :

Théorème [Théorème de Fejer]

$\bullet\$ Soit périodique continue de période $2\pi$ . Alors pour tout ${\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_\infty$ et ${\parallel}\sigma _n(f)-f {\parallel}_\infty \to 0$ pour $n\to \infty$ .

$\bullet\$ Soit $\in$ ${\mathfrak{L}}^p$ , avec $p\in[1,\infty[$ ^1.2. Alors pour tout ${\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_p$ et ${\parallel}\sigma _n(f) -f {\parallel}_p \to 0$ pour $n\to \infty$ .

Démonstration: Cette preuve est détaillée dans le livre [22, p81]. Elle utilise à la fois l'inégalité de Hölder et le théorème de Fubini, et le dernier résultat donné sur le noyau de Féjer. $\sqcap$ $\sqcup$

Un autre résultat, de convergence ponctuelle ce coup-ci:

Théorème [Théorème de Dirichlet] Si est et si admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en , alors

$\displaystyle \sigma _n(f)(x) \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))$

Il ne s'agit pas nécéssairement de dérivées à gauche ou à droite, on peut se contenter d'avoir dans , et admettant en une limite à gauche et à droite $f_{-}(x)$ et $f_{+}(x)$ ; alors les "pseudo-dérivées" à gauche et à droite sont