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Séries de Fourier d'une fonction périodique

Pour étudier une fonction périodique, on se ramène au cas d'une période $ 2\pi$, et on la considère définie sur $ [-\pi,\pi]$.

Définition Soit $ f$ dans $ {\mathfrak{L}}^1$. Alors on définit les coefficients de Fourier de $ f$ pour $ n \in \mathbb{Z}$ par

$\displaystyle \hat f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i.n.t}.f(t).dt$

On appelle noyau de Dirichlet d'ordre $ n$ l'application $ x \mapsto \sum_{i=-n}^n u_i(x)$. On le note $ D_n$.

On appelle noyau de Féjer d'ordre $ n$ l'application

$\displaystyle x \mapsto \frac{\sum{i=0}^{n-1} D_i}n$

On le note $ K_n$.

On note $ s_n(f)$ et on appelle somme de Fourier d'ordre $ n$ la somme $ \sum_{i=-n}^n \hat f(n) u_n$.

On note $ \sigma _n(f)$ et on appelle somme de Féjer d'ordre $ n$ la somme $ \frac{\sum_{i=0}^{n-1} s_i}n$.

On appelle série de Fourier associée à $ f$ la série

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat f(n).e^{i.n.t}$


Remarque $ \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi u_n = 1$ si $ n=0$ et 0 sinon, ce qui implique que pour tout $ n\geq 0$ on a $ \frac1{2\pi}D_n=1$ et pour tout $ n\geq 1$ on a $ \frac1{2\pi}K_n=1$.

Remarque On a $ s_n(f)=\frac1{2\pi} D_n * f$ et $ \sigma _n(f)=\frac1{2\pi} K_n *f$ (avec par définition $ (g*f)(x)=\int_{-\pi}^\pi g(t)f(x-t)dt$, produit de convolution) ce qui justifie le terme de noyau.

Attention! Bien noter le signe "-" dans l'exponentielle de la formule.
On remarque que si $ f \in {\mathfrak{L}}^2$, alors $ f \in {\mathfrak{L}}^1$, et $ \hat f(n)=(u_n , f)$.

Proposition On a isomorphisme isométrique entre $ {\cal L}^2$ et $ l^2(\mathbb{Z})$, donné par $ f \mapsto \hat f$.

Démonstration: C'est simplement une reformulation du théorème [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Toute fonction $ f$ dans $ {\cal L}^2$ est somme de sa série de Fourier pour $ {\cal L}^2$ (c'est à dire que la série de Fourier de $ f$ tend vers $ f$ pour la norme $ 2$ et pour $ f$ dans $ {\cal L}^2$).

Démonstration: C'est simplement une reformulation de la relation de Parseval (théorème [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Il n'y a pas convergence simple de la série de Fourier vers $ f$, même si $ f$ est continue! $ \sqcap$$ \sqcup$

Un problème majeur va être de montrer des résultats similaires dans $ {\cal L}^1$.

Proposition

$\displaystyle D_n(x)=\frac{sin((n+1/2)x)}{sin(x/2)}$

$\displaystyle K_n(x)=\frac1n \left(\frac{sin(nx/2)}{sin(x/2)}\right)^2$


Démonstration:

Si $ x$ n'est pas multiple de $ 2\pi$, alors

$\displaystyle D_n(x)=u_{-n}(x) \sum_{k=0}^{2n} u_k(x)$

$\displaystyle =u_{-n}(x) \frac{(e^{ix})^{2n+1}-1}{e^{ix}-1}$

$\displaystyle =\frac{e^{ix(n+1/2)}}{e^{ix/2}} \frac{e^{ix(n+1/2)}-e^{-ix{n+1/2}}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}$

$\displaystyle =\frac{sin((n+1/2)x)}{sin(x/2)}$

D'où le résultat sur $ D_n$ (si $ x$ est multiple de $ 2\pi$, $ D_n(x)=2n+1$, qui est l'unique prolongement par continuité de $ \frac{sin(n+\frac12x)}{sin(x/2)}$).

Toujours pour $ x$ non multiple de $ 2\pi$,

$\displaystyle K_n(x)=\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{sin((k+1/2)x)}{sin(x/2)}$

$\displaystyle =\frac1{nsin(x/2)} Im\left (\sum_{k=0}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}\right)$

$\displaystyle =\frac1{nsin(x/2)} Im\left(e^{ix/2} \frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}\right)$

$\displaystyle =\frac{sin(nx/2)^2}{nsin(x/2)^2}$

D'où le résultat. $ \sqcap$$ \sqcup$

Deux résultats distincts, prouvés de manières similaires :

Théorème [Théorème de Fejer]

$ \bullet\ $Soit $ f$ périodique continue de période $ 2\pi$. Alors pour tout $ n$ $ {\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_\infty$ et $ {\parallel}\sigma _n(f)-f {\parallel}_\infty \to 0$ pour $ n\to \infty$.

$ \bullet\ $Soit $ f$ $ \in$ $ {\mathfrak{L}}^p$, avec $ p\in[1,\infty[$1.2. Alors pour tout $ n$ $ {\parallel}\sigma _n(f) {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_p$ et $ {\parallel}\sigma _n(f) -f {\parallel}_p \to 0$ pour $ n\to \infty$.


Démonstration: Cette preuve est détaillée dans le livre [22, p81]. Elle utilise à la fois l'inégalité de Hölder et le théorème de Fubini, et le dernier résultat donné sur le noyau de Féjer.$ \sqcap$$ \sqcup$

Un autre résultat, de convergence ponctuelle ce coup-ci:

Théorème [Théorème de Dirichlet] Si $ f$ est $ L^1$ et si $ f$ admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en $ x$, alors

$\displaystyle \sigma _n(f)(x) \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))$

Attention! Il ne s'agit pas nécéssairement de dérivées à gauche ou à droite, on peut se contenter d'avoir $ f$ dans $ L^1$, et admettant en $ x$ une limite à gauche et à droite $ f_{-}(x)$ et $ f_{+}(x)$; alors les "pseudo-dérivées" à gauche et à droite sont

$\displaystyle f'_g(x)=lim_{t\to x,t<x} \frac{f(t)-f_{-}(x)}{t-x}$

$\displaystyle f'_d(x)=lim_{t\to x,t>x} \frac{f(t)-f_{+}(x)}{t-x}$


Démonstration: On renvoie à [15] pour une preuve très claire.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... $ p\in[1,\infty[$1.2
Bien noter que $ \infty$ est exclus!

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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