Séries de Fourier d'une fonction périodique
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Pour étudier une fonction périodique, on se ramène au cas d'une période , et on la considère définie sur
.
Définition
Soit dans
. Alors on définit les coefficients de Fourier de pour
par
On appelle noyau de Dirichlet d'ordre l'application
.
On le note .
On appelle noyau de Féjer d'ordre l'application
On le note .
On note et on appelle somme de Fourier d'ordre la somme
.
On note
et on appelle somme de Féjer d'ordre la somme
.
On appelle série de Fourier associée à la série
si et 0 sinon, ce qui implique que pour tout on a
et pour tout on a
.
On a
et
(avec par définition
, produit de convolution ) ce qui justifie le terme de noyau.
Bien noter le signe "-" dans l'exponentielle de la formule.
On remarque que si
, alors
, et
.
Proposition
On a isomorphisme isométrique entre
et
, donné par
.
Démonstration: C'est simplement une reformulation du théorème .
Proposition
Toute fonction dans
est somme de sa série de Fourier pour
(c'est à
dire que la série de Fourier de tend vers pour la norme et pour dans
).
Démonstration: C'est simplement une reformulation de la relation de Parseval (théorème ).
Il n'y a pas convergence simple de la série de Fourier vers , même si est continue!
Un problème majeur va être de montrer des résultats similaires dans
.
Proposition
Démonstration:
Si n'est pas multiple de , alors
D'où le résultat sur (si est multiple de ,
, qui est l'unique prolongement par continuité de
).
Toujours pour non multiple de ,
D'où le résultat.
Deux résultats distincts, prouvés de manières similaires :
Théorème [Théorème de Fejer]
Soit périodique continue de période .
Alors pour tout
et
pour
.
Soit
, avec
1.2 .
Alors pour tout
et
pour
.
Démonstration: Cette preuve est détaillée dans le livre [22 , p81]. Elle utilise à la fois l'inégalité de Hölder et le théorème de Fubini , et le dernier résultat donné sur le noyau de Féjer.
Un autre résultat, de convergence ponctuelle ce coup-ci:
Théorème [Théorème de Dirichlet]
Si est et si admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en , alors
Il ne s'agit pas nécéssairement de dérivées à gauche ou à droite, on peut se contenter
d'avoir dans , et admettant en une limite à gauche et à droite et ; alors les "pseudo-dérivées" à gauche et à droite sont
Démonstration: On renvoie à [15 ] pour une preuve très claire.
Notes
...
1.2
Bien noter que est exclus!
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