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Transformation de Fourier

Définition On se donne $ f$ dans $ L^1_\mathbb{C}(\mathbb{R})$, et on note pour $ x$ dans $ \mathbb{R}$

$\displaystyle \hat f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x).e^{-i.x.t}.dt$

$ \hat f$ est appelée transformée de Fourier de $ f$ (plus précisément il s'agit de la transformée de Fourier $ L^1$ de $ f$).
On note $ {\cal C}$ l'ensemble des $ x \in \mathbb{C}$ tels que $ \vert x\vert=1$.

Remarque Si $ f$ est dans $ L^1$, alors $ \hat f$ est continue et tend vers 0 en $ \pm \infty$.

Proposition [Quelques propriétés de la transformée de Fourier]

Soit $ f\in L^1(\mathbb{R})$.

$ \bullet\ $Avec $ g:x\mapsto f(x)e^{i{\lambda}x}$, pour $ {\lambda}\in \mathbb{R}$, $ \hat g(t)=\hat f(t-{\lambda})$.

$ \bullet\ $Avec $ g:x\mapsto f(x-{\lambda})$, pour $ {\lambda}\in \mathbb{R}$, $ \hat g(t)=\hat f(t)e^{-i{\lambda}t}$.

$ \bullet\ $Si $ g$ est $ L^1$ et si $ h=f*g$, alors $ \hat h(t)=\hat f(t) \hat g(t)$.


Démonstration: Les deux premiers $ \bullet\ $sont clairs. Le troisième découle immédiatement du théorème de Fubini [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Les deux théorèmes suivants, fondamentaux, ne seront pas prouvés ici. Ils sont ardus, et prouvés rigoureusement dans [16].

Théorème [Théorème d'inversion]

Si $ f$ et $ \hat f$ appartiennent tous deux à $ L^1$, alors

$\displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt$

est continue, tend vers 0 en $ +\infty$ ou $ -\infty$ et est égale à $ f$ presque partout


Théorème [Théorème de Plancherel] La transformation de Fourier s'étend en une transformation de Fourier $ L^2$, définie comme l'unique application $ f \mapsto \hat f$ de $ L^2$ dans $ L^2$ telle que:

$ \bullet\ $elle coïncide avec la transformée de Fourier $ L^1$ sur $ L^1\cap L^2$

$ \bullet\ $c'est une isométrie de $ L^2$ dans $ L^2$

Elle vérifie en outre:

$ \bullet\ $c'est un isomorphisme d'espaces de Hilbert entre $ L^2$ et $ L^2$

$ \bullet\ $Théorème d'inversion $ L^2$ :

$\displaystyle lim_{M\to \infty} {\parallel}f_A-\hat f {\parallel}_2=0$

avec

$\displaystyle f_M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(x)e^{-ixt}dx$

et

$\displaystyle lim_{M\to \infty} {\parallel}\hat f_M-f {\parallel}_2=0$

avec

$\displaystyle \hat f_M(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(t)e^{-ixt}dt$

on peut aussi écrire que l'application de $ L^1\cap L^2$ dans $ L^1\cap L^2$ qui à $ f$ associe $ \tilde f$ avec $ \tilde f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)exp(ixt)dt$ s'étend en une isométrie de $ L^2$ dans $ L^2$, et $ f \mapsto \tilde f$ est l'inverse de $ f \mapsto \hat f$ au sens où pour toute $ f$ $ L^2$ $ \hat {\tilde f}=\tilde {\hat f}=f$ presque partout.



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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