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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Transformation de Fourier

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Transformation de Fourier

Définition On se donne dans $L^1_\mathbb{C}(\mathbb{R})$ , et on note pour dans $\mathbb{R}$

$\displaystyle \hat f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x).e^{-i.x.t}.dt$

$\hat f$ est appelée transformée de Fourier de

(plus précisément il s'agit de la transformée de Fourier de

).
On note ${\cal C}$ l'ensemble des $x \in \mathbb{C}$ tels que $\vert x\vert=1$ .

Si est dans , alors $\hat f$ est continue et tend vers 0 en $\pm \infty$ .

Proposition [Quelques propriétés de la transformée de Fourier]

Soit $f\in L^1(\mathbb{R})$ .

$\bullet\$ Avec $g:x\mapsto f(x)e^{i{\lambda}x}$ , pour ${\lambda}\in \mathbb{R}$ , $\hat g(t)=\hat f(t-{\lambda})$ .

$\bullet\$ Avec $g:x\mapsto f(x-{\lambda})$ , pour ${\lambda}\in \mathbb{R}$ , $\hat g(t)=\hat f(t)e^{-i{\lambda}t}$ .

$\bullet\$ Si est et si , alors $\hat h(t)=\hat f(t) \hat g(t)$ .

Démonstration: Les deux premiers $\bullet\$ sont clairs. Le troisième découle immédiatement du théorème de Fubini . $\sqcap$ $\sqcup$

Les deux théorèmes suivants, fondamentaux, ne seront pas prouvés ici. Ils sont ardus, et prouvés rigoureusement dans [16].

Théorème [Théorème d'inversion]

Si et $\hat f$ appartiennent tous deux à , alors

$\displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt$

est continue, tend vers 0 en $+\infty$ ou $-\infty$ et est égale à

presque partout

Théorème [Théorème de Plancherel] La transformation de Fourier s'étend en une transformation de Fourier , définie comme l'unique application $f \mapsto \hat f$ de dans telle que:

$\bullet\$ elle coïncide avec la transformée de Fourier sur $L^1\cap L^2$

$\bullet\$ c'est une isométrie de dans

Elle vérifie en outre:

$\bullet\$ c'est un isomorphisme d'espaces de Hilbert entre et

$\bullet\$ Théorème d'inversion :

$\displaystyle lim_{M\to \infty} {\parallel}f_A-\hat f {\parallel}_2=0$

avec

$\displaystyle f_M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(x)e^{-ixt}dx$

$\displaystyle lim_{M\to \infty} {\parallel}\hat f_M-f {\parallel}_2=0$

avec

$\displaystyle \hat f_M(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(t)e^{-ixt}dt$

on peut aussi écrire que l'application de $L^1\cap L^2$ dans $L^1\cap L^2$ qui à associe $\tilde f$ avec $\tilde f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)exp(ixt)dt$ s'étend en une isométrie de dans , et $f \mapsto \tilde f$ est l'inverse de $f \mapsto \hat f$ au sens où pour toute $\hat {\tilde f}=\tilde {\hat f}=f$ presque partout.