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Calcul de $ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}$

Proposition

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2=\pi^2/6$

Démonstration:

On applique simplement la formule de Parseval (théorème [*]) à la transformée de Fourier de l'application identité de $ [-\pi,\pi[$ dans lui-même.

Pour tout $ k\in \mathbb{Z}$, définissons

$\displaystyle c_k=2\pi \hat f(k)$

$\displaystyle c_k=\int_{-\pi}^{\pi} xe^{ikx}dx$

$\displaystyle c_0=0$c'est à dire$\displaystyle \hat f(0)=0$

$\displaystyle k\neq 0 \Rightarrow c_k= [ \frac{xe^{ikx}}{ik}]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi} e^{ikx} dx$

$\displaystyle =\frac{2\pi(-1)^k}{ik}$

donc pour $ k\neq 0$ $ \hat f(k)=(-1)^k/(ik)$.

Donc par la formule de Parseval:

$\displaystyle (\sum_{k\in \mathbb{Z}} \vert\hat f (k)\vert^2=\sum_{k<0} 1/k^2 +\sum_{k>0} 1/k^2$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{+\infty} 2/k^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx=\pi^2/3$

Et $ \sum_{k=1}^\infty 1/k^2 = \pi^2/6$.$ \sqcap$$ \sqcup$



Exemple Maple


$ > Sum(1/k$^ $ 2,k=1..infinity)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$

$ > value(\%)$

$\displaystyle \frac16\pi^2$







C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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