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Une formule utile

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Une formule utile

Proposition Soit un entier naturel. On a alors

$\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{n}C_n^k(-1)^{n-k}k^p=\left\{ \begin{array}{c c c} 0 & \mbox{si} & p<n \\ n! & \mbox{si} & p=n \end{array}\right. .\end{displaymath}$

Ce résultat sera utile pour la proposition .

Démonstration: Comme $C_n^k=C_n^{n-k}$ , la somme présentée est le coefficient du produit de Cauchy suivant :

$\displaystyle f_p(x)=\sum_{m\geq 0} c_m x^m= \underbrace{\left(\sum_{k=0}^nC_n^... ...x^k\right)}_{(1-x)^n} \underbrace{\left(\sum_{l\geq 0}l^p x^l\right)}_{g_p(x)},$

où toutes les séries entières présentées ont un rayon de convergence d'au moins 1. La famille de fonctions $(g_p)_{p\geq 0}$ est également définie par récurrence comme suit :

$\displaystyle g_0(x)=\frac{1}{1-x}$ et $\displaystyle g_{p+1}(x)=xg_p'(x).$

Lemme Pour tout entier naturel , il existe un polynôme de degré tel que $g_p(x)=h_p(x)/(1-x)^{p+1}$ .

Démonstration: Récurrence évidente. $\sqcap$ $\sqcup$

Si , alors $f_p(x)=h_p(x)(1-x)^{n-p-1}$ est un polynôme de degré , si bien que .

Supposons maintenant que . On a alors :

$\displaystyle f_n(x)=\frac{h_n(x)}{1-x}=h_n(x)(1+x+x^2+\ldots).$

Comme est de degré , le coefficient vaut la somme des coefficients de . Autrement dit, . On déduit de la relation $g_{p+1}(x)=xg_p'(x)$ que

$\displaystyle \frac{h_{p+1}(x)}{(1-x)^{p+2}}=\frac{xh_p'(x)}{(1-x)^{p+1}} +\frac{(p+1)xh_p(x)}{(1-x)^{p+2}}.$

En multipliant par $(1-x)^{p+2}$ puis en prenant , il vient $h_{p+1}(1)=(p+1)h_p(1)$ . Comme , on obtient pour tout . En particulier, et la proposition est démontrée. $\sqcap$ $\sqcup$