Une formule utile

Proposition Soit un entier naturel. On a alors

Ce résultat sera utile pour la proposition .

Démonstration: Comme , la somme présentée est le coefficient du produit de Cauchy suivant :

où toutes les séries entières présentées ont un rayon de convergence d'au moins 1. La famille de fonctions est également définie par récurrence comme suit :

et

Lemme Pour tout entier naturel , il existe un polynôme de degré tel que .

Démonstration: Récurrence évidente.

Si , alors est un polynôme de degré , si bien que .

Supposons maintenant que . On a alors :

Comme est de degré , le coefficient vaut la somme des coefficients de . Autrement dit, . On déduit de la relation que

En multipliant par puis en prenant , il vient . Comme , on obtient pour tout . En particulier, et la proposition est démontrée.