Démonstration:
Comme
, la somme présentée est le coefficient
du produit de Cauchy suivant :
où toutes les séries entières présentées
ont un rayon de convergence d'au moins 1.
La famille de fonctions
est également définie par récurrence comme suit :
et
Lemme
Pour tout entier naturel ,
il existe un polynôme
de degré tel que
.
Démonstration:Récurrence évidente.
Si , alors
est un polynôme de degré , si bien que .
Supposons maintenant que . On a alors :
Comme est de degré ,
le coefficient vaut la somme des coefficients de .
Autrement dit,
.
On déduit de la relation
que
En multipliant par
puis en prenant ,
il vient
. Comme ,
on obtient pour tout .
En particulier,
et la proposition est démontrée.