Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
209 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Une formule utile next up previous index
suivant: Généralisation du binôme de monter: Quelques applications précédent: Quelques applications   Index

Une formule utile

Proposition Soit $ n$ un entier naturel. On a alors

\begin{displaymath}\sum_{k=0}^{n}C_n^k(-1)^{n-k}k^p=\left\{
\begin{array}{c c c}
0 & \mbox{si} & p<n \\
n! & \mbox{si} & p=n
\end{array}\right.
.\end{displaymath}

Application(s)... Ce résultat sera utile pour la proposition [*].

Démonstration: Comme $ C_n^k=C_n^{n-k}$, la somme présentée est le coefficient $ c_n$ du produit de Cauchy suivant :

$\displaystyle f_p(x)=\sum_{m\geq 0} c_m x^m=
\underbrace{\left(\sum_{k=0}^nC_n^...
...x^k\right)}_{(1-x)^n}
\underbrace{\left(\sum_{l\geq 0}l^p x^l\right)}_{g_p(x)},$

où toutes les séries entières présentées ont un rayon de convergence d'au moins 1. La famille de fonctions $ (g_p)_{p\geq 0}$ est également définie par récurrence comme suit :

$\displaystyle g_0(x)=\frac{1}{1-x}$ et $\displaystyle g_{p+1}(x)=xg_p'(x).$

Lemme Pour tout entier naturel $ p$, il existe un polynôme $ h_p$ de degré $ p$ tel que $ g_p(x)=h_p(x)/(1-x)^{p+1}$.

Démonstration: Récurrence évidente.$ \sqcap$$ \sqcup$


Si $ p<n$, alors $ f_p(x)=h_p(x)(1-x)^{n-p-1}$ est un polynôme de degré $ (n-1)$, si bien que $ c_n=0$.


Supposons maintenant que $ p=n$. On a alors :

$\displaystyle f_n(x)=\frac{h_n(x)}{1-x}=h_n(x)(1+x+x^2+\ldots).$

Comme $ h_n$ est de degré $ n$, le coefficient $ c_n$ vaut la somme des coefficients de $ h_n$. Autrement dit, $ c_n=h_n(1)$. On déduit de la relation $ g_{p+1}(x)=xg_p'(x)$ que

$\displaystyle \frac{h_{p+1}(x)}{(1-x)^{p+2}}=\frac{xh_p'(x)}{(1-x)^{p+1}}
+\frac{(p+1)xh_p(x)}{(1-x)^{p+2}}.$

En multipliant par $ (1-x)^{p+2}$ puis en prenant $ x=1$, il vient $ h_{p+1}(1)=(p+1)h_p(1)$. Comme $ h_0(1)=1$, on obtient $ h_p(1)=p!$ pour tout $ p$. En particulier, $ c_n=h_n(1)=n!$ et la proposition est démontrée.$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Généralisation du binôme de monter: Quelques applications précédent: Quelques applications   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page