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Familles sommables infinies

Définition Une famille $ (x_i)_{i \in I}$ de nombres complexes est sommable de somme $ x$ si pour tout $ \epsilon $ il existe $ J \subset I$ finie telle que, pour tout $ K$ fini, $ J \subset K \subset I$ implique $ \vert x-\sum_{i \in K x_i}\vert \leq \epsilon $.

Lemme Si une famille $ (x_i)$ de nombres réels est sommable, alors la famille de ses termes positifs est sommable, et la famille de ses termes qui sont négatifs est sommable.

Démonstration: Supposons que la famille des $ (x_i)$ soit sommable, et supposons que la famille des $ (max(x_i,0))$ ne le soit pas. Alors la somme des $ (max(x_i,0))$ pour $ i\in J$ avec $ J$ fini peut être arbitrairement grande. Or la somme des $ (x_i)$ pour $ i$ dans $ J'=\{ j \in J / x_j>0\}$ est tout aussi grande, et peut donc être arbitrairement grande elle aussi. D'où le résultat pour la famille des réels positifs. Le raisonnement pour la famille négative est le même.

Proposition Toute famille sommable de nombres réels est de support dénombrable (ie seule une quantité au plus dénombrable de ces réels est non nulle). Il en va de même des familles de nombres complexes.

Démonstration:

En vertu du lemme précédent, je me contente de démontrer ce résultat pour une famille de nombres réels positifs. Le résultat dans le cas général se démontre de manière similaire.

Il existe un nombre fini de réels plus grands que $ 1/n$, pour tout $ n$. En notant $ A_n$ la famille des réels $ >1/n$, on voit que la réunion des $ A_n$ est le support de la famille; une réunion dénombrable d'ensembles finis étant dénombrable, la famille est dénombrable.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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