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Ensemble des surjections (et bijections) de $ E$ dans $ F$

Proposition En notant $ S_e^f$ le cardinal de l'ensemble des surjections de $ E$ dans $ F$ (dans le cas $ e\geq f$) divisé par $ f!$ (c'est-à-dire, dans le cas de $ E$ et $ F$ totalement ordonnés, le nombre de surjections croissantes), on a les formules:

$\displaystyle S_e^1=S_e^e=1$

$\displaystyle \forall (e,f)\ S_{e+1}^f=S_e^{f-1}+f.S_e^f$

On obtient ainsi les valeurs suivantes de $ S_e^f$:

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert ccccc}
& f=1 & f=2 & f=3 & f=4 & f=5 \\...
...& 1 & 7 & 6 & 1 & 0 \\
e=5 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1
\end{array}\end{displaymath}

Le nombre de bijections de $ E$ vers $ F$ vaut $ e!$ si $ e=f$, 0 sinon.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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