Sphère de Riemann - Fonctions holomorphes sur

Définition [Sphère de Riemann] Soit l'espace topologique obtenu en rajoutant un point, noté , à , une base de voisinages de ce point étant constituée des ensembles , où parcourt les complémentaires dans des parties compactes (en somme, c'est le compactifié d'Alexandrov de ).

On note la sphère unité de l'espace .

La projection stéréographique depuis le pôle nord

est un homéomorphisme de la sphère sur .

La droite projective complexe est le quotient de par l'action diagonale par multiplication du groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls , munie de la topologie quotient. La classe d'un couple de nombres complexes non tous les deux nuls est notée .

L'application

est un homéomorphisme de la droite projective sur .

Proposition Soit quatre nombres complexes tels que . Alors l'endomorphisme linéaire de défini par la matrice

passe au quotient en un homéomorphisme de qui, lu sur , est l'homographie

prolongée par et si , ces deux conditions étant remplacées par si . On a ainsi défini un morphisme injectif de dans Homéo.

La droite projective complexe hérite d'une structure de variété complexe de dimension (complexe) 1. La sphère de Riemann est munie de la structure complexe héritée de celle de par le biais de . Celle-ci peut être décrite par un jeu de deux cartes. Soit l'ouvert de correspondant aux couples ayant la première coordonnée non nulle et l'ouvert correspondant aux couples ayant la deuxième coordonnée non nulle. Les ouverts correspondants dans sont respectivement et , dont l'intersection est .

La matrice

qui permute les coordonnées dans , réalise un homéomorphisme (de changement de carte) entre et , qui est holomorphe, car il se lit dans .

Une application est alors dite holomorphe (respectivement méromorphe, où n'est alors supposée définie qu'en dehors de l'ensemble de ses pôles) si elle est holomorphe (respectivement méromorphe) dans les cartes, c'est-à-dire, d'une part, dans au sens usuel et, d'autre part, dans au sens que est holomorphe (respectivement méromorphe) dans au sens usuel.

Une application est alors holomorphe si et seulement si elle est méromorphe en dehors de l'image réciproque de .

Proposition Les applications holomorphes de dans sont les fonctions constantes.

Démonstration: Soit une application holomorphe de dans . Par continuité en , la fonction est bornée sur le complémentaire d'une partie compacte de . Comme est également bornée sur ce compact, est bornée donc constante.

Théorème Les applications holomorphes de dans sont les fractions rationnelles.

Démonstration: Soit une telle application. On suppose non constante. Comme les fonctions holomorphes non constantes, a ses zéros isolés, si bien que n'admet qu'un nombre fini de pôles et de racines (car est compact). Soit une fraction rationnelle ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les pôles de et pour pôles les racines de , de sorte que n'ait ni pôle, ni racine. La fonction définit alors une application holomorphe de dans , qui est constante d'après la proposition précédente, si bien que est une fraction rationnelle.

Théorème Les automorphismes de la sphère de Riemann sont les homographies.

Démonstration: Si est une fraction rationnelle et un élément de , le nombre de solutions dans , comptées avec multiplicité, de l'équation est le maximum des degrés de et de . Par conséquent est bijective si et seulement si ou est de degré , l'autre étant de degré 0 ou .

Proposition

Les applications holomorphes de dans qui sont holomorphes dans au sens usuel sont les polnômes.

Démonstration: Soit une telle application. Par le même raisonnement que précédemment, est constante sauf si . Placons-nous donc dans ce dernier cas de figure. La fonction admet alors un nombre fini (éventuellement nul) de zéros, car une infinité de zéros aurait un point d'accumulation dans , donc dans puisque et serait alors nulle.

Soit un polynôme ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les zéros de , de sorte que la fonction n'ait pas de racine dans . Si , alors la fonction définit une application holomorphe de dans qui s'annule uniquement en , ce qu'interdit la proposition précédente. On a donc pour un certain nombre complexe . La proposition précdente montre alors que , si bien que .