Définition [Sphère de Riemann]
Soit
l'espace topologique
obtenu en rajoutant un point, noté , à
, une base de voisinages
de ce point étant constituée des ensembles
,
où parcourt les complémentaires dans
des parties compactes
(en somme, c'est le compactifié d'Alexandrov de
).
On note la sphère unité de l'espace
.
La projection stéréographique depuis le pôle nord
est un homéomorphisme de la sphère
sur
.
La droite projective complexe
est le quotient de
par l'action diagonale par multiplication du groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls
,
munie de la topologie quotient.
La classe d'un couple de nombres complexes non tous les deux nuls est notée .
L'application
est un homéomorphisme de la droite projective
sur
.
Proposition
Soit quatre nombres complexes
tels que
. Alors l'endomorphisme linéaire de
défini par la matrice
passe au quotient en un homéomorphisme de
qui,
lu sur
, est l'homographie
prolongée par
et
si ,
ces deux conditions étant remplacées par
si . On a ainsi défini un morphisme injectif de
dans
Homéo.
La droite projective complexe hérite d'une structure de variété complexe
de dimension (complexe) 1.
La sphère de Riemann est
munie de la structure complexe
héritée de celle de
par le biais de . Celle-ci peut être décrite par un jeu de deux cartes.
Soit l'ouvert de
correspondant aux couples ayant la première coordonnée
non nulle et l'ouvert correspondant aux couples ayant la deuxième coordonnée
non nulle. Les ouverts correspondants dans
sont respectivement
et
, dont l'intersection est
.
La matrice
qui permute les coordonnées dans
, réalise un homéomorphisme
(de changement de carte) entre et , qui est holomorphe,
car il se lit
dans
.
Une application
est alors dite holomorphe (respectivement méromorphe,
où n'est alors supposée définie qu'en dehors de l'ensemble de ses pôles)
si elle est holomorphe (respectivement méromorphe) dans les cartes, c'est-à-dire, d'une part,
dans
au sens usuel et, d'autre part, dans au sens que
est holomorphe (respectivement méromorphe) dans
au sens usuel.
Une application
est alors holomorphe si
et seulement si elle est méromorphe en dehors de l'image réciproque de .
Proposition
Les applications holomorphes de
dans
sont les fonctions constantes.
Démonstration:
Soit une application holomorphe de
dans
.
Par continuité en , la fonction est bornée sur le complémentaire d'une partie compacte
de
. Comme est également bornée sur ce compact, est bornée donc constante.
Théorème
Les applications holomorphes de
dans
sont les fractions rationnelles.
Démonstration:Soit une telle application. On suppose non constante.
Comme les fonctions holomorphes non constantes, a ses zéros isolés, si bien que n'admet
qu'un nombre fini de pôles et de racines (car
est compact). Soit une fraction rationnelle
ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les pôles de et pour pôles
les racines de , de sorte que n'ait ni pôle, ni racine. La fonction
définit alors une application holomorphe de
dans
, qui est constante d'après
la proposition précédente, si bien que est une fraction rationnelle.
Théorème
Les automorphismes de la sphère de Riemann sont les homographies.
Démonstration:Si est une fraction rationnelle
et un élément de
, le nombre de solutions dans
,
comptées avec multiplicité, de l'équation est le maximum des degrés
de et de . Par conséquent est bijective si et seulement si ou
est de degré , l'autre étant de degré 0 ou .
Proposition
Les applications holomorphes de
dans
qui sont holomorphes dans
au sens usuel
sont les polnômes.
Démonstration:Soit une telle application.
Par le même raisonnement que précédemment, est constante sauf si
.
Placons-nous donc dans ce dernier cas de figure. La fonction admet alors un nombre fini
(éventuellement nul) de zéros,
car une infinité de zéros aurait un point d'accumulation dans
, donc dans
puisque
et serait alors nulle.
Soit un polynôme ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les zéros de ,
de sorte que la fonction n'ait pas de racine dans
. Si
,
alors la fonction définit une application holomorphe de
dans
qui s'annule uniquement en , ce qu'interdit la proposition précédente.
On a donc
pour un certain nombre complexe . La proposition précdente
montre alors que , si bien que
.