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Sphère de Riemann $ \widehat{\mathbb{C}}$ - Fonctions holomorphes sur $ \widehat{\mathbb{C}}$

Définition [Sphère de Riemann] Soit $ \widehat{\mathbb{C}}$ l'espace topologique obtenu en rajoutant un point, noté $ \infty$, à $ \mathbb{C}$, une base de voisinages de ce point étant constituée des ensembles $ U\cup\{\infty\}$, où $ U$ parcourt les complémentaires dans $ \mathbb{C}$ des parties compactes (en somme, c'est le compactifié d'Alexandrov de $ \mathbb{C}$).

On note $ S^2$ la sphère unité de l'espace $ \mathbb{R}^3$.

La projection stéréographique depuis le pôle nord $ N$

$\displaystyle p_N :\begin{array}{rcl}
{\cal S}^2 & \rightarrow & \widehat{\math...
...\mapsto & (x+iy)/(1-t) \mbox{ si } t\neq 1\\
N & \mapsto & \infty
\end{array},$

est un homéomorphisme de la sphère $ {\cal S}^2$ sur $ \widehat{{\cal C}}$.

La droite projective complexe $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$ est le quotient de $ \mathbb{C}^2\setminus_{\{(0,0)\}}$ par l'action diagonale par multiplication du groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls $ \mathbb{C}^*$, munie de la topologie quotient. La classe d'un couple $ (z_1,z_2)$ de nombres complexes non tous les deux nuls est notée $ (z_1:z_2)$.

L'application

$\displaystyle r : \begin{array}{rcl}
\mbox{${\Bbb P}$}^1(\mathbb{C}) & \rightar...
...apsto & z_1/z_2\mbox{ si } z_2\neq 0 \\
(1 : 0) & \mapsto & \infty
\end{array}$

est un homéomorphisme de la droite projective $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$ sur $ \widehat{\mathbb{C}}$.



Proposition Soit $ a,b,c,d$ quatre nombres complexes tels que $ ad-bc\neq 0$. Alors l'endomorphisme linéaire de $ \mathbb{C}^2$ défini par la matrice

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)$

passe au quotient en un homéomorphisme de $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$ qui, lu sur $ \widehat{\mathbb{C}}$, est l'homographie

$\displaystyle h_A : z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},$

prolongée par $ h_A(-d/c)=\infty$ et $ h_A(\infty)=a/c$ si $ c\neq 0$, ces deux conditions étant remplacées par $ h_A(\infty)=\infty$ si $ c=0$. On a ainsi défini un morphisme injectif de $ PSL(2,\mathbb{C})$ dans Homéo$ (\widehat{\mathbb{C}})$.



La droite projective complexe hérite d'une structure de variété complexe de dimension (complexe) 1. La sphère de Riemann est $ \widehat{\mathbb{C}}$ munie de la structure complexe héritée de celle de $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$ par le biais de $ r$. Celle-ci peut être décrite par un jeu de deux cartes. Soit $ P_1$ l'ouvert de $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$ correspondant aux couples ayant la première coordonnée non nulle et $ P_2$ l'ouvert correspondant aux couples ayant la deuxième coordonnée non nulle. Les ouverts correspondants dans $ \widehat{\mathbb{C}}$ sont respectivement $ U_1=\mathbb{C}$ et $ U_2= \widehat{\mathbb{C}} \setminus\{0\}$, dont l'intersection est $ \mathbb{C}^*$.

La matrice

$\displaystyle J=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right),$

qui permute les coordonnées dans $ \mbox{${\Bbb P}$}$$ ^1(\mathbb{C})$, réalise un homéomorphisme (de changement de carte) entre $ P_1$ et $ P_2$, qui est holomorphe, car il se lit $ z\mapsto 1/z$ dans $ U_1\cap U_2=\mathbb{C}^*$.

Une application $ f: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \mathbb{C}$ est alors dite holomorphe (respectivement méromorphe, où $ f$ n'est alors supposée définie qu'en dehors de l'ensemble de ses pôles) si elle est holomorphe (respectivement méromorphe) dans les cartes, c'est-à-dire, d'une part, dans $ \mathbb{C}$ au sens usuel et, d'autre part, dans $ U_2$ au sens que $ z\mapsto f(1/z)$ est holomorphe (respectivement méromorphe) dans $ \mathbb{C}$ au sens usuel.

Une application $ f: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}} $ est alors holomorphe si et seulement si elle est méromorphe en dehors de l'image réciproque de $ \infty$.


Proposition Les applications holomorphes de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \mathbb{C}$ sont les fonctions constantes.


Démonstration: Soit $ f$ une application holomorphe de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \mathbb{C}$. Par continuité en $ \infty$, la fonction $ f$ est bornée sur le complémentaire d'une partie compacte de $ \mathbb{C}$. Comme $ f$ est également bornée sur ce compact, $ f$ est bornée donc constante. $ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Les applications holomorphes de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \widehat{\mathbb{C}}$ sont les fractions rationnelles.


Démonstration: Soit $ f$ une telle application. On suppose $ f$ non constante. Comme les fonctions holomorphes non constantes, $ f$ a ses zéros isolés, si bien que $ f$ n'admet qu'un nombre fini de pôles et de racines (car $ \widehat{\mathbb{C}}$ est compact). Soit $ P$ une fraction rationnelle ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les pôles de $ f$ et pour pôles les racines de $ f$, de sorte que $ fP$ n'ait ni pôle, ni racine. La fonction $ fP$ définit alors une application holomorphe de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \mathbb{C}$, qui est constante d'après la proposition précédente, si bien que $ f$ est une fraction rationnelle. $ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Les automorphismes de la sphère de Riemann sont les homographies.

Démonstration: Si $ P=A/B$ est une fraction rationnelle et $ w$ un élément de $ \widehat{\mathbb{C}}$, le nombre de solutions dans $ \widehat{\mathbb{C}}$, comptées avec multiplicité, de l'équation $ P(z)=w$ est le maximum des degrés de $ A$ et de $ B$. Par conséquent $ P$ est bijective si et seulement si $ A$ ou $ B$ est de degré $ 1$, l'autre étant de degré 0 ou $ 1$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

Les applications holomorphes de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \widehat{\mathbb{C}}$ qui sont holomorphes dans $ \mathbb{C}$ au sens usuel sont les polnômes.


Démonstration: Soit $ f$ une telle application. Par le même raisonnement que précédemment, $ f$ est constante sauf si $ f(\infty)=\infty$. Placons-nous donc dans ce dernier cas de figure. La fonction $ f$ admet alors un nombre fini (éventuellement nul) de zéros, car une infinité de zéros aurait un point d'accumulation dans $ \widehat{\mathbb{C}}$, donc dans $ \mathbb{C}$ puisque $ f(\infty)=\infty$ et $ f$ serait alors nulle.

Soit $ P$ un polynôme ayant pour racines (comptées avec multiplicité) les zéros de $ f$, de sorte que la fonction $ g=f/P$ n'ait pas de racine dans $ \mathbb{C}$. Si $ g(\infty)=\infty$, alors la fonction $ 1/g$ définit une application holomorphe de $ \widehat{\mathbb{C}}$ dans $ \mathbb{C}$ qui s'annule uniquement en $ \infty$, ce qu'interdit la proposition précédente. On a donc $ g(\infty)=\lambda$ pour un certain nombre complexe $ \lambda$. La proposition précdente montre alors que $ g=\lambda$, si bien que $ f=\lambda P$. $ \sqcap$$ \sqcup$



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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