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Généralités

Définition Une fonction est dite dérivable au sens complexe en $ a\in\Omega$ si $ lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie. On note alors cette limite $ f'(a)$.

Une fonction est dite holomorphe sur $ \Omega$ si elle est dérivable au sens complexe en tout point de $ \Omega$. On note $ H(\Omega)$ l'ensemble des fonctions holomorphes sur $ \Omega$.

On notera $ D(a,r)$ (resp. $ D'(a,r)$) avec $ r>0$ l'ensemble des $ x$ de $ \Omega$ tels que $ \vert x-a\vert<r$ (resp. $ 0<\vert x-a\vert<r$).

Un domaine est un ouvert connexe non vide.


On remarque immédiatement que:

- $ H(\Omega)$ est un anneau pour l'addition et la multiplication usuelles.

- la composée de deux fonctions holomorphes est holomorphe.

- tout polynôme est holomorphe sur $ \mathbb{C}$

- l'inverse d'une fonction holomorphe ne s'annulant pas est holomorphe

- l'exponentielle complexe est holomorphe sur $ \mathbb{C}$

- toute série entière est holomorphe; si $ f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n.(z-a)^n$, alors $ f'(z)=\sum_{n=1}^\infty n.c_n.(z-a)^{n-1}$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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