Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
202 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Théorème de Montel next up previous index
suivant: Fonctions holomorphes majorées par monter: Zoologie des applications holomorphes précédent: Zoologie des applications holomorphes   Index

Théorème de Montel

Théorème [Théorème de Montel] Soit $ \Omega$ un ouvert connexe de $ \mathbb{C}$, $ K$ compact de $ \Omega$, $ M\geq 0$, $ m>0$, $ k\in K$. Alors il existe un certain $ NombreMaxDeZeros$ tels que le nombre de zéros de $ f$ dans $ K$, pour $ f$ bornée 1.1 par $ M$ sur $ K$ et telle que $ \vert f'(k)\vert\geq m$, est majoré par $ NombreMaxDeZeros$.

Démonstration:

$ \bullet\ $On considère l'ensemble $ U_n$ des applications $ f$ holomorphes sur $ \Omega$ telles que le nombre de zéros de $ f$ sur $ K$ soit $ <n$ ( $ n\in \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$; on montre que $ U_n$ est ouvert.

- Pour cela donnons-nous $ f$ dans $ U_n$

- Soit $ NombreZeros$ le nombre de zéros de $ f$ dans $ K$. $ NombreZeros$, par définition de $ U_n$, est fini.

- Considérons les disques fermés $ \overline D(z_i,\epsilon _i)$ inclus dans $ \Omega$, et tels que $ f$ ne s'annule pas sur le disque ouvert, sauf peut-être en $ z_i$.

- Il est clair que les disques ouverts $ D(z_i,\epsilon _i)$ recouvrent $ K$.

- On en extrait un nombre fini. Les $ D(z_i,\epsilon _i)$ pour $ i\in I$, avec $ I$ fini, recouvrent donc $ K$.

- On considère alors $ LesCercles$ le compact constitué des cercles de rayon $ \epsilon _i$ et de centre les $ z_i$ pour $ i$ dans $ I$.

- On considère alors $ \eta$ l'inf de $ f$ sur $ LesCercles$.

- On considère alors l'ensemble $ V$ des fonctions $ g$ telles que $ sup_{LesCercles} \vert g-f\vert$ est inférieur strictement à $ \eta$. Par le théorème de Rouché [*], les fonctions $ g$ dans $ V$ ont un nombre de 0 égal au nombre de zéros de $ f$.

- Le résultat est ainsi prouvé.

$ \bullet\ $On en déduit donc que l'application qui à $ f$ associe son nombre de zéros sur $ K$ est semi-continue supérieurement.

$ \bullet\ $L'ensemble $ {\cal F}$ des applications $ f$ bornées en module par $ M$ sur $ K$ et telles que $ \vert f'(k)\vert\geq m$ étant compact, le nombre de zéros est borné, le maximum est atteint (car une application semi-continue supérieurement sur un compact atteint son maximum, voir proposition [*]), et il n'est pas infini par la condition $ \vert f'(k)\vert\geq m$.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... bornée1.1
En module.

next up previous index
suivant: Fonctions holomorphes majorées par monter: Zoologie des applications holomorphes précédent: Zoologie des applications holomorphes   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page