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Théorème de Montel

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Théorème de Montel

Théorème [Théorème de Montel] Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$ , compact de $\Omega$ , $M\geq 0$ , , $k\in K$ . Alors il existe un certain tels que le nombre de zéros de dans , pour bornée ^1.1 par sur et telle que $\vert f'(k)\vert\geq m$ , est majoré par .

Démonstration:

$\bullet\$ On considère l'ensemble des applications holomorphes sur $\Omega$ telles que le nombre de zéros de sur soit ( $n\in \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$ ; on montre que est ouvert.

- Pour cela donnons-nous dans

- Soit le nombre de zéros de dans . , par définition de , est fini.

- Considérons les disques fermés $\overline D(z_i,\epsilon _i)$ inclus dans $\Omega$ , et tels que ne s'annule pas sur le disque ouvert, sauf peut-être en .

- Il est clair que les disques ouverts $D(z_i,\epsilon _i)$ recouvrent .

- On en extrait un nombre fini. Les $D(z_i,\epsilon _i)$ pour $i\in I$ , avec fini, recouvrent donc .

- On considère alors le compact constitué des cercles de rayon $\epsilon _i$ et de centre les pour dans .

- On considère alors $\eta$ l'inf de sur .

- On considère alors l'ensemble des fonctions telles que $sup_{LesCercles} \vert g-f\vert$ est inférieur strictement à $\eta$ . Par le théorème de Rouché , les fonctions dans ont un nombre de 0 égal au nombre de zéros de .

- Le résultat est ainsi prouvé.

$\bullet\$ On en déduit donc que l'application qui à associe son nombre de zéros sur est semi-continue supérieurement.

$\bullet\$ L'ensemble ${\cal F}$ des applications bornées en module par sur et telles que $\vert f'(k)\vert\geq m$ étant compact, le nombre de zéros est borné, le maximum est atteint (car une application semi-continue supérieurement sur un compact atteint son maximum, voir proposition ), et il n'est pas infini par la condition $\vert f'(k)\vert\geq m$ . $\sqcap$ $\sqcup$