Théorème [Théorème de Montel]
Soit un ouvert connexe de
, compact de , , , . Alors il existe un certain
tels que
le nombre de zéros de dans , pour bornée 1.1 par sur et telle que
, est majoré par
.
Démonstration:
On considère l'ensemble des applications holomorphes sur telles que le nombre de zéros de sur soit (
; on montre que est ouvert.
- Pour cela donnons-nous dans
- Soit
le nombre de zéros de dans .
, par définition de , est fini.
- Considérons les disques fermés
inclus dans , et tels que ne s'annule pas sur le disque ouvert, sauf peut-être en .
- Il est clair que les disques ouverts
recouvrent .
- On en extrait un nombre fini. Les
pour , avec fini, recouvrent donc .
- On considère alors
le compact constitué des cercles de rayon
et de centre les pour dans .
- On considère alors l'inf de sur
.
- On considère alors l'ensemble des fonctions telles que
est inférieur strictement à . Par le théorème de Rouché , les fonctions dans ont un nombre de 0 égal au nombre de zéros de .
- Le résultat est ainsi prouvé.
On en déduit donc que l'application qui à associe son nombre de zéros sur est semi-continue supérieurement.
L'ensemble des applications bornées en module par sur et telles que
étant compact, le nombre de zéros est borné, le maximum est atteint (car une application semi-continue supérieurement sur un compact atteint son maximum, voir proposition ), et il n'est pas infini par la condition
.
un ouvert connexe de
, 
compact de 
, 
, 
. Alors il existe un certain
tels que
le nombre de zéros de 
sur 
, est majoré par
On considère l'ensemble 
des applications 
(
; on montre que 
le nombre de zéros de 
inclus dans 
.
recouvrent 
, avec 
fini, recouvrent donc 
le compact constitué des cercles de rayon
et de centre les 
dans 
l'inf de 
des fonctions 
telles que
est inférieur strictement à ![[*]](/images/crossref.png)
des applications 
