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Fonctions holomorphes majorées par un polynôme

Théorème Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$, et $ P$ un polynôme, avec $ \vert f\vert\leq \vert P\vert$. Alors $ f$ est un polynôme, de degré $ \leq$ au degré de $ P$.
Démonstration:

Il suffit d'utiliser le théorème [*], qui nous dit que

$\displaystyle \vert f^{(n)}(0)\vert\leq n! M/R^n$

avec $ M$ un majorant de $ \vert f\vert$ sur le disque de centre 0 et de rayon $ R$. Puisque $ M\leq L + K\times R^p$ (par hypothèse), on en déduit:

$\displaystyle \vert f^{(n)}(0)\vert\leq n! (L+K\times R^p)/R^n$

et donc $ f^{(n)}=0$ pour $ n>p$, d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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