Théorème
Soit une fonction holomorphe sur
. On suppose
Alors est une fonction polynôme.
Démonstration:
Soit l'ensemble des zéros de .
Au vu de l'hypothèse, pour assez grand en module,
.
Donc est inclus dans un compact .
Si est infini, alors possède un point d'accumulation dans , et
donc d'après le théorème est nulle. Ce cas étant résolu, on peut supposer fini.
On considère alors . C'est une fonction holomorphe sur le complémentaire de . Sur , en utilisant le théorème , on constate que admet des pôles, et non pas des singularités essentielles; on peut donc lui soustraire une fraction rationnelle , afin que soit holomorphe.
est majoré par un polynôme, donc d'après le théorème c'est un polynôme.
, avec un polynôme, donc , fraction rationnelle.
étant holomorphe, n'a pas de pôle, et donc se simplifie en un polynôme.