Fonctions holomorphes tendant vers l'infini en l'infini

Théorème Soit une fonction holomorphe sur . On suppose

Alors est une fonction polynôme.

Démonstration:

Soit l'ensemble des zéros de .

Au vu de l'hypothèse, pour assez grand en module, . Donc est inclus dans un compact .

Si est infini, alors possède un point d'accumulation dans , et donc d'après le théorème est nulle. Ce cas étant résolu, on peut supposer fini.

On considère alors . C'est une fonction holomorphe sur le complémentaire de . Sur , en utilisant le théorème , on constate que admet des pôles, et non pas des singularités essentielles; on peut donc lui soustraire une fraction rationnelle , afin que soit holomorphe.

est majoré par un polynôme, donc d'après le théorème c'est un polynôme.

, avec un polynôme, donc , fraction rationnelle.

étant holomorphe, n'a pas de pôle, et donc se simplifie en un polynôme.