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Fonctions holomorphes tendant vers l'infini en l'infini

Théorème Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$. On suppose

$\displaystyle lim_{\vert z\vert\to \infty} \vert f(z)\vert=\infty$

Alors $ f$ est une fonction polynôme.

Démonstration:

$ \bullet\ $Soit $ Z$ l'ensemble des zéros de $ f$.

$ \bullet\ $Au vu de l'hypothèse, pour $ z$ assez grand en module, $ \vert f(z)\vert\geq 1$. Donc $ Z$ est inclus dans un compact $ K$.

$ \bullet\ $Si $ Z$ est infini, alors $ Z$ possède un point d'accumulation dans $ K$, et donc d'après le théorème [*] $ f$ est nulle. Ce cas étant résolu, on peut supposer $ Z$ fini.

$ \bullet\ $On considère alors $ 1/f$. C'est une fonction holomorphe sur le complémentaire de $ Z$. Sur $ Z$, en utilisant le théorème [*], on constate que $ 1/f$ admet des pôles, et non pas des singularités essentielles; on peut donc lui soustraire une fraction rationnelle $ P/Q$, afin que $ 1/f-P/Q$ soit holomorphe.

$ \bullet\ $$ 1/f-P/Q$ est majoré par un polynôme, donc d'après le théorème [*] c'est un polynôme.

$ \bullet\ $$ 1/f-P/Q=R$, avec $ R$ un polynôme, donc $ f=(Q-R)/P$, fraction rationnelle.

$ \bullet\ $$ f$ étant holomorphe, $ f$ n'a pas de pôle, et donc se simplifie en un polynôme.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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