Définition
Etant donné un ouvert de
, on note l'ensemble des fonctions fois continument dérivables de dans
.
est stable par produit, et si est dans
et ne s'annule pas alors est dans
.
Pour dans
et dans
et telle que
, on note
L'ordre des dérivations importe peu, comme on l'a vu dans le chapitre de calcul différentiel.
Définition [Opérations dans
]
Etant donnés et dans
:
on note
.
on note
si
si
on note
avec
si
on note
on note
on note 0 l'élément de
.
Proposition [Formule de Leibnitz]
Il s'agit d'un produit et pas d'une composition.
Démonstration:Récurrence facile, utilisant le corollaire . Définition [Distance sur
]
On définit maintenant comme étant l'intersection de la boule
et de
. On définit ensuite , pour dans
par
.
On définit ensuite sur
la distance:
Il est indispensable pour la suite de consulter les propriétés topologiques des ainsi définis; voir lemme .
Théorème est une semi-norme est bien définie et est une distance
La topologie définie pour cette distance a pour suites convergentes les suites de fonctions de
telles que pour tout tel que
converge uniformément sur tout compact de .
est complet pour cette distance
Démonstration:Le fait que soit une semi-norme est évident (rappelons qu'un semi-norme a tout d'une norme à ceci près qu'une semi-norme n'est pas nécéssairement nulle seulement en 0)
est bien définie, car
. Il est clair que
, et que
. Il reste à voir l'inégalité triangulaire.
Pour cela soient et dans
. Alors
Par croissance de
,
Il ne reste qu'à sommer en pondérant par pour avoir le résultat désiré.
Commençons par montrer qu'une suite convergente pour cette distance est bien convergente uniformément sur tout compact, ainsi que toutes ses dérivées. Ce résultat est en fait clair; il suffit de voir que tout compact de est inclus dans un ; et que pour que tende vers 0, il faut que tende vers 0.
La réciproque est plus laborieuse.
Réciproquement, supposons que toutes les dérivées de convergent uniformément sur tout compact, notons la fonction limite. Alors donnons nous
. Soit tel que
. Choisissons ensuite tel que pour et tout . Alors on a bien
pour tout .
Il reste à montrer la propriété de complétude.
Donnons-nous une suite de Cauchy pour la distance ainsi définie sur
.
Pour tout dans il existe un certain tel que
Le fait que soit une suite de Cauchy nous permet de déduire que pour
tel que
est une suite de Cauchy. On note
la limite.
Pour tout , on va montrer par récurrence sur que est sur , et que sur l'intérieur de .
La propriété est claire pour ; une limite uniforme de fonctions continues est continue.
On se donne alors en supposant la propriété vraie jusqu'à .
On définit tel que
.
Alors sur tel que appartienne à l'intérieur de , intéressons-nous à la dérivée suivant
de
(si on montre son existence et sa continuité, on aura conclu grâce au théorème ).
Pour
suffisamment proche de pour être dans et pour que le segment soit dans , avec
(c'est à dire que le point est juste déplacé suivant la coordonnée .
Et en faisant tendre vers
Donc la dérivée partielle
existe et est continue en (elle vaut
).
Moralité de tout ça:
Si on se donne un compact et
Alors est inclus dans l'intérieur d'un certain Sur ce il y a convergence uniforme de la dérivée
vers
, puisqu'il y a convergence pour .
La limite est bien dans
.
Donc
est bien complet pour la métrique que l'on a définie ! Corollaire [Autre façon de voir la topologie sur
]
La même topologie serait définie en définissant les fermés comme étant les sous-ensembles contenant les limites de toute suite convergente pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées d'ordre total sur tout compact.
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