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La hiérarchie des $ C^k(\Omega)$, avec $ \Omega$ ouvert de $ \mathbb{R}^n$

Définition Etant donné $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$, on note $ C^k(\Omega)$ l'ensemble des fonctions $ k$ fois continument dérivables de $ \Omega$ dans $ \mathbb{C}$.
$ C^k(\Omega)$ est stable par produit, et si $ f$ est dans $ C^k(\Omega)$ et ne s'annule pas alors $ 1/f$ est dans $ C^k(\Omega)$.
Pour $ f$ dans $ C^k(\Omega)$ et $ \nu$ dans $ \mathbb{N}^n$ et telle que $ \sum_{i=1}^n \mu_i \leq k$, on note

$\displaystyle \partial ^\nu f=\frac{\partial ^{\vert\nu\vert} f}{(\partial x_1)^{\nu_1}\dots (\partial x_n)^{\nu_n}}$

L'ordre des dérivations importe peu, comme on l'a vu dans le chapitre de calcul différentiel.
Définition [Opérations dans $ \mathbb{N}^n$] Etant donnés $ \nu$ et $ \eta$ dans $ \mathbb{N}^n$:
$ \bullet\ $on note $ \nu !=\Pi_{i=1}^n (\nu_i)!$.
$ \bullet\ $on note $ \nu \geq \eta$ si $ \forall i\in [1,n] \nu_i - \eta_i \geq 0$
$ \bullet\ $si $ \nu \geq \eta$ on note $ \alpha =\nu-\eta$ avec $ \forall i\in [1,n] \alpha _i = \nu_i - \eta_i$
$ \bullet\ $si $ \nu \geq \eta$ on note $ C_\nu^\eta = \frac{\nu!}{\eta ! (\nu-\eta)!}=\Pi_{i=1}^n C_{\nu_i}^{\eta_i}$
$ \bullet\ $on note $ \vert\nu\vert=\sum_{i=1}^n \nu_i$
$ \bullet\ $on note 0 l'élément $ (0,...,0)$ de $ \mathbb{N}^n$.
Proposition [Formule de Leibnitz]

$\displaystyle \partial ^\alpha (f.g)=\sum_{\beta \leq \alpha } C_\alpha ^\beta \partial ^\beta f \partial ^\alpha g$


Attention! Il s'agit d'un produit et pas d'une composition.
Démonstration: Récurrence facile, utilisant le corollaire [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Définition [Distance sur $ C^k(\Omega)$] On définit maintenant $ K_m$ comme étant l'intersection de la boule $ \overline B(0,m)$ et de $ \{ x / d(x,\Omega^c)\geq \frac 1m\}$. On définit ensuite $ N_m(f)$, pour $ f$ dans $ C^k(\Omega)$ par $ N_m(f)=\sum_{\nu \in \mathbb{N}^d/\vert\nu\vert\leq k} sup_{K_m} \partial ^\nu f(x)$.
On définit ensuite sur $ C^k(\Omega)$ la distance:

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{m>0} \frac{1}{2^m} \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)}$


Il est indispensable pour la suite de consulter les propriétés topologiques des $ K_m$ ainsi définis; voir lemme [*].
Théorème $ \bullet\ $$ N_m$ est une semi-norme
$ \bullet\ $$ d$ est bien définie et est une distance
$ \bullet\ $La topologie définie pour cette distance a pour suites convergentes les suites de fonctions $ (f_n)$ de $ C^k(\Omega)$ telles que pour tout $ \nu$ tel que $ \vert\nu\vert\leq k$ $ \partial ^\nu f_n$ converge uniformément sur tout compact $ K$ de $ \Omega$.
$ \bullet\ $ $ C^k(\Omega)$ est complet pour cette distance
Démonstration: $ \bullet\ $Le fait que $ N_m$ soit une semi-norme est évident (rappelons qu'un semi-norme a tout d'une norme à ceci près qu'une semi-norme n'est pas nécéssairement nulle seulement en 0)
$ \bullet\ $$ d$ est bien définie, car $ \frac{1}{2^m} \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)}\leq \frac{1}{2^m}$. Il est clair que $ d(f,g)=0 \iff f=g$, et que $ d(f,g)=d(g,f)$. Il reste à voir l'inégalité triangulaire.
Pour cela soient $ f$ $ g$ et $ h$ dans $ C^k(\Omega)$. Alors

$\displaystyle N_m(f-g)\leq N_m(f-h)+N_m(h-g)$

Par croissance de $ x \mapsto \frac{x}{1+x}$,

$\displaystyle \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)} \leq \frac{N_m(f-h)+N_m(h-g)}{1+N_m(f-h)+N_m(h-g)}$

$\displaystyle \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)} \leq \frac{N_m(f-h)}{1+N_m(f-h)}+\frac{N_m(h-g)}{1+N_m(h-g)}$

Il ne reste qu'à sommer en pondérant par $ 1/2^m$ pour avoir le résultat désiré.
$ \bullet\ $Commençons par montrer qu'une suite convergente pour cette distance est bien convergente uniformément sur tout compact, ainsi que toutes ses dérivées. Ce résultat est en fait clair; il suffit de voir que tout compact de $ K$ est inclus dans un $ K_i$; et que pour que $ d(f,g)$ tende vers 0, il faut que $ N_m(f,g)$ tende vers 0.
La réciproque est plus laborieuse.
Réciproquement, supposons que toutes les dérivées $ \leq k$ de $ f_n$ convergent uniformément sur tout compact, notons $ f$ la fonction limite. Alors donnons nous $ \epsilon >0$. Soit $ m$ tel que $ \sum_{i=m+1}^\infty 1/2^i < \epsilon $. Choisissons ensuite $ N$ tel que pour $ n\geq N$ et tout $ m'<m$ $ N_{m'}(f_n-f) \leq \epsilon $. Alors on a bien $ d(f_n,f) \leq \epsilon $ pour tout $ n\geq N$.
$ \bullet\ $Il reste à montrer la propriété de complétude.
Donnons-nous $ f_n$ une suite de Cauchy pour la distance ainsi définie sur $ C^k(\Omega)$.
Pour tout $ x$ dans $ \Omega$ il existe un certain $ m$ tel que $ x \in Int (K_m)$
Le fait que $ (f_n)_n$ soit une suite de Cauchy nous permet de déduire que pour $ \nu\in \mathbb{R}^n$ tel que $ \vert\nu\vert\leq k$ $ (f_n^\nu(x))_n$ est une suite de Cauchy. On note $ f_{\infty,\nu}(x)$ la limite.
Pour tout $ m$, on va montrer par récurrence sur $ \vert\nu\vert$ que $ f$ est $ C^{\vert\nu\vert}$ sur $ K_m$, et que sur l'intérieur de $ K_m$ $ f_{\infty,\nu}=\partial ^\nu f_{\infty,0}$.
La propriété est claire pour $ \vert\nu\vert=0$; une limite uniforme de fonctions continues est continue.
On se donne alors $ \nu$ en supposant la propriété vraie jusqu'à $ \vert\nu\vert-1$.
On définit $ \nu'$ tel que $ \partial ^\nu = \frac{\partial }{\partial x_p} \partial ^{\nu'}$.
Alors sur $ K_m$ tel que $ y$ appartienne à l'intérieur de $ K_m$, intéressons-nous à la dérivée suivant $ \partial x_p$ de $ \partial ^{\nu'}\ f_{\infty,0}=f_{\infty,\nu}$ (si on montre son existence et sa continuité, on aura conclu grâce au théorème [*]).
Pour $ y'$ suffisamment proche de $ y$ pour être dans $ K_m$ et pour que le segment $ [y,y']$ soit dans $ K_m$, avec $ \forall i\in[1,n] i\neq p \Rightarrow y_i=y'_i$ (c'est à dire que le point $ y'$ est juste déplacé suivant la coordonnée $ p$.

$\displaystyle \partial ^{\nu'}f_i(y')-\partial ^{\nu'}f_i(y)=\int_{y_p}^{y'_p} ...
...tial }{\partial x_p} \partial ^{\nu'} f_i(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

$\displaystyle \partial ^{\nu'}f_i(y')-\partial ^{\nu'}f_i(y)=\int_{y_p}^{y'_p} \partial ^{\nu} f_i(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

Et en faisant tendre $ i$ vers $ +\infty$

$\displaystyle f^{\nu'}(y')-f^{\nu'}(y)=\int_{y_p}^{y'_p} f_{\infty,\nu}(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

Donc la dérivée partielle $ \frac{\partial }{\partial x_p}$ existe et est continue en $ x$ (elle vaut $ f_{\infty,\nu}$).
Moralité de tout ça:
$ \bullet\ $Si on se donne un compact $ K$ et $ \nu \leq k$
$ \bullet\ $Alors $ K$ est inclus dans l'intérieur d'un certain $ K_m$
$ \bullet\ $Sur ce $ K_m$ il y a convergence uniforme de la dérivée $ \partial ^\nu f_n$ vers $ \partial ^\nu f_{\infty,0}$, puisqu'il y a convergence pour $ N_m$.
$ \bullet\ $La limite est bien dans $ C^k(\Omega)$.
Donc $ C^k(\Omega)$ est bien complet pour la métrique que l'on a définie !$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Autre façon de voir la topologie sur $ C^k(\Omega)$] La même topologie serait définie en définissant les fermés comme étant les sous-ensembles contenant les limites de toute suite convergente pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées d'ordre total $ \leq k$ sur tout compact.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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