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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

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La hiérarchie des , avec ouvert de

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La hiérarchie des $C^k(\Omega)$ , avec $\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^n$

Définition Etant donné $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , on note $C^k(\Omega)$ l'ensemble des fonctions

fois continument dérivables

de $\Omega$ dans $\mathbb{C}$ .
$C^k(\Omega)$ est stable par produit, et si

est dans $C^k(\Omega)$ et ne s'annule pas alors

est dans $C^k(\Omega)$ .
Pour

dans $C^k(\Omega)$ et $\nu$ dans $\mathbb{N}^n$ et telle que $\sum_{i=1}^n \mu_i \leq k$ , on note

$\displaystyle \partial ^\nu f=\frac{\partial ^{\vert\nu\vert} f}{(\partial x_1)^{\nu_1}\dots (\partial x_n)^{\nu_n}}$

L'ordre des dérivations importe peu, comme on l'a vu dans le chapitre de calcul différentiel.
Définition [Opérations dans $\mathbb{N}^n$ ] Etant donnés $\nu$ et $\eta$ dans $\mathbb{N}^n$ :
$\bullet\$ on note $\nu !=\Pi_{i=1}^n (\nu_i)!$ .
$\bullet\$ on note $\nu \geq \eta$ si $\forall i\in [1,n] \nu_i - \eta_i \geq 0$
$\bullet\$ si $\nu \geq \eta$ on note $\alpha =\nu-\eta$ avec $\forall i\in [1,n] \alpha _i = \nu_i - \eta_i$
$\bullet\$ si $\nu \geq \eta$ on note $C_\nu^\eta = \frac{\nu!}{\eta ! (\nu-\eta)!}=\Pi_{i=1}^n C_{\nu_i}^{\eta_i}$
$\bullet\$ on note $\vert\nu\vert=\sum_{i=1}^n \nu_i$
$\bullet\$ on note 0 l'élément

de $\mathbb{N}^n$ .
Proposition [Formule de Leibnitz]

$\displaystyle \partial ^\alpha (f.g)=\sum_{\beta \leq \alpha } C_\alpha ^\beta \partial ^\beta f \partial ^\alpha g$

Il s'agit d'un produit et pas d'une composition.
Démonstration: Récurrence facile, utilisant le corollaire

. $\sqcap$ $\sqcup$
Définition [Distance sur $C^k(\Omega)$ ]

On définit maintenant

comme étant l'intersection de la boule $\overline B(0,m)$ et de $\{ x / d(x,\Omega^c)\geq \frac 1m\}$ . On définit ensuite

, pour

dans $C^k(\Omega)$ par $N_m(f)=\sum_{\nu \in \mathbb{N}^d/\vert\nu\vert\leq k} sup_{K_m} \partial ^\nu f(x)$ .
On définit ensuite sur $C^k(\Omega)$ la distance:

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{m>0} \frac{1}{2^m} \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)}$

Il est indispensable pour la suite de consulter les propriétés topologiques des

ainsi définis; voir lemme

.
Théorème $\bullet\$

est une semi-norme

$\bullet\$

est bien définie et est une distance
$\bullet\$ La topologie définie pour cette distance a pour suites convergentes les suites de fonctions

de $C^k(\Omega)$ telles que pour tout $\nu$ tel que $\vert\nu\vert\leq k$ $\partial ^\nu f_n$ converge uniformément sur tout compact

de $\Omega$ .
$\bullet\$ $C^k(\Omega)$ est complet

pour cette distance
Démonstration: $\bullet\$ Le fait que

soit une semi-norme est évident (rappelons qu'un semi-norme a tout d'une norme à ceci près qu'une semi-norme n'est pas nécéssairement nulle seulement en 0)
$\bullet\$

est bien définie, car $\frac{1}{2^m} \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)}\leq \frac{1}{2^m}$ . Il est clair que $d(f,g)=0 \iff f=g$ , et que

. Il reste à voir l'inégalité triangulaire.
Pour cela soient

dans $C^k(\Omega)$ . Alors

$\displaystyle N_m(f-g)\leq N_m(f-h)+N_m(h-g)$

Par croissance de $x \mapsto \frac{x}{1+x}$ ,

$\displaystyle \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)} \leq \frac{N_m(f-h)+N_m(h-g)}{1+N_m(f-h)+N_m(h-g)}$

$\displaystyle \frac{N_m(f-g)}{1+N_m(f-g)} \leq \frac{N_m(f-h)}{1+N_m(f-h)}+\frac{N_m(h-g)}{1+N_m(h-g)}$

Il ne reste qu'à sommer en pondérant par

pour avoir le résultat désiré.
$\bullet\$ Commençons par montrer qu'une suite convergente pour cette distance est bien convergente uniformément sur tout compact, ainsi que toutes ses dérivées. Ce résultat est en fait clair; il suffit de voir que tout compact de

est inclus dans un

; et que pour que

tende vers 0, il faut que

tende vers 0.
La réciproque est plus laborieuse.
Réciproquement, supposons que toutes les dérivées $\leq k$ de

convergent uniformément sur tout compact, notons

la fonction limite. Alors donnons nous $\epsilon >0$ . Soit

tel que $\sum_{i=m+1}^\infty 1/2^i < \epsilon$ . Choisissons ensuite

tel que pour $n\geq N$ et tout

$N_{m'}(f_n-f) \leq \epsilon$ . Alors on a bien $d(f_n,f) \leq \epsilon$ pour tout $n\geq N$ .
$\bullet\$ Il reste à montrer la propriété de complétude.
Donnons-nous

une suite de Cauchy

pour la distance ainsi définie sur $C^k(\Omega)$ .
Pour tout

dans $\Omega$ il existe un certain

tel que $x \in Int (K_m)$
Le fait que

soit une suite de Cauchy nous permet de déduire que pour $\nu\in \mathbb{R}^n$ tel que $\vert\nu\vert\leq k$ $(f_n^\nu(x))_n$ est une suite de Cauchy. On note $f_{\infty,\nu}(x)$ la limite.
Pour tout

, on va montrer par récurrence sur $\vert\nu\vert$ que

est $C^{\vert\nu\vert}$ sur

, et que sur l'intérieur de

$f_{\infty,\nu}=\partial ^\nu f_{\infty,0}$ .
La propriété est claire pour $\vert\nu\vert=0$ ; une limite uniforme de fonctions continues est continue

.
On se donne alors $\nu$ en supposant la propriété vraie jusqu'à $\vert\nu\vert-1$ .
On définit $\nu'$ tel que $\partial ^\nu = \frac{\partial }{\partial x_p} \partial ^{\nu'}$ .
Alors sur

tel que

appartienne à l'intérieur de

, intéressons-nous à la dérivée suivant $\partial x_p$ de $\partial ^{\nu'}\ f_{\infty,0}=f_{\infty,\nu}$ (si on montre son existence et sa continuité, on aura conclu grâce au théorème

).
Pour

suffisamment proche de

pour être dans

et pour que le segment

soit dans

, avec $\forall i\in[1,n] i\neq p \Rightarrow y_i=y'_i$ (c'est à dire que le point

est juste déplacé suivant la coordonnée

$\displaystyle \partial ^{\nu'}f_i(y')-\partial ^{\nu'}f_i(y)=\int_{y_p}^{y'_p} ... ...tial }{\partial x_p} \partial ^{\nu'} f_i(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

$\displaystyle \partial ^{\nu'}f_i(y')-\partial ^{\nu'}f_i(y)=\int_{y_p}^{y'_p} \partial ^{\nu} f_i(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

Et en faisant tendre

vers $+\infty$

$\displaystyle f^{\nu'}(y')-f^{\nu'}(y)=\int_{y_p}^{y'_p} f_{\infty,\nu}(y_1,...,y_{p-1},u,y_{p+1},...,y_n) du$

Donc la dérivée partielle $\frac{\partial }{\partial x_p}$ existe et est continue en

(elle vaut $f_{\infty,\nu}$ ).
Moralité de tout ça:
$\bullet\$ Si on se donne un compact

et $\nu \leq k$
$\bullet\$ Alors

est inclus dans l'intérieur d'un certain

$\bullet\$ Sur ce

il y a convergence uniforme de la dérivée $\partial ^\nu f_n$ vers $\partial ^\nu f_{\infty,0}$ , puisqu'il y a convergence pour

.
$\bullet\$ La limite est bien dans $C^k(\Omega)$ .
Donc $C^k(\Omega)$ est bien complet pour la métrique que l'on a définie ! $\sqcap$ $\sqcup$
Corollaire [Autre façon de voir la topologie sur $C^k(\Omega)$ ] La même topologie serait définie en définissant les fermés comme étant les sous-ensembles contenant les limites de toute suite convergente pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées d'ordre total $\leq k$ sur tout compact.