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La topologie faible

Nous allons montrer ici quelques propriétés de la topologie faible.
Corollaire La topologie faible est séparée.
Démonstration: C'est une application directe du théorème [*]; les singletons sont compacts, on en prend deux, on les sépare au sens strict par un hyperplan fermé; les deux demi-espaces ouverts restant sont des ouverts séparants les deux points...$ \sqcap$$ \sqcup$
Définition On note $ x_n \rightharpoonup x$ le fait que la suite $ x_n$ d'élément de $ E$ converge vers $ x\in E$ pour la topologie faible.
On note $ x_n \to x$ la convergence de $ x_n$ vers $ x$ pour la topologie de la norme (ben oui, on est dans un espace vectoriel normé $ E$), et $ f_n \to f$ dans $ E'$ pour la convergence de $ f_n$ vers $ f$ pour la topologie forte. On pourra aussi qualifier de convergence forte la convergence dans $ E$ pour la norme.
Exemple:
Dans cette proposition, les $ \forall f$ désignent $ \forall f\in E'$.

$\displaystyle (x_n \rightharpoonup x) \iff (\forall f, f(x_n) \to f(x))$

$\displaystyle (x_n \to x) \to (x_n \rightharpoonup x)$

$\displaystyle (x_n \rightharpoonup x) \to ({\parallel}x_n {\parallel}$ borné et $\displaystyle {\parallel}x {\parallel}\leq liminf {\parallel}x_n {\parallel})$

$\displaystyle (x_n \rightharpoonup x$    et $\displaystyle f_n \to f) \to ( f_n(x_n) \to f(x)$   (dans $ \mathbb{R}$)$\displaystyle )$

$\displaystyle (x_n \to x$    et $\displaystyle f_n \rightharpoonup f) \to ( f_n(x_n) \to f(x)$   (dans $ \mathbb{R}$)$\displaystyle )$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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