Théorème
Si est de dimension finie, alors la topologie faible sur et la topologie forte sur sont égales.
Démonstration:La topologie forte est toujours plus fine que la topologie faible (évident au vu des définitions; dans un ouvert (au sens de la topologie faible) , tout point possède un voisinage de la forme
, et pour tout point dans cette intersection on loge une boule ouverte centrée sur de rayon
): il s'agit là d'un ouvert pour la topologie forte.
Réciproquement, soit dans , et un ouvert (pour la topologie forte) contenant . On cherche à construire un ouvert pour la topologie faible qui contienne et qui soit inclus dans . On peut naturellement se restreindre à
, boule ouverte de centre et de rayon .
On fixe
une base de de vecteurs de norme .
On note
la famille des applications telles que
.
On peut alors écrire
.
Il suffit alors d'écrire
pour avoir un ouvert
pour la topologie faible inclus dans et contenant .
On verra en partie que cette propriété est caractéristique de la dimension finie.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
est de dimension finie, alors la topologie faible
La topologie forte est toujours plus fine que la topologie faible (évident au vu des définitions; dans un ouvert (au sens de la topologie faible) , tout point possède un voisinage de la forme
, et pour tout point 
dans cette intersection on loge une boule ouverte centrée sur 
): il s'agit là d'un ouvert pour la topologie forte.
un ouvert (pour la topologie forte) contenant 
, boule ouverte de centre 
.
une base de 
.
![$ (f_i)_{i\in [1,n]}$](/a/a/v/img370.png){kind=small}
la famille des applications telles que
![$ \forall t\in E\ t=\sum_{i\in [1,n]} f_i(t)$](/a/a/v/img371.png){kind=small}
.
![$ {\parallel}t-x {\parallel}\leq \sum_{i\in [1,n]} \vert f_i(t-x)\vert$](/a/a/v/img372.png){kind=small}
.
pour avoir un ouvert
pour la topologie faible inclus dans 
![[*]](/images/crossref.png)
