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En dimension finie

Théorème Si $ E$ est de dimension finie, alors la topologie faible sur $ E$ et la topologie forte sur $ E$ sont égales.
Démonstration: $ \bullet\ $La topologie forte est toujours plus fine que la topologie faible (évident au vu des définitions; dans un ouvert (au sens de la topologie faible) , tout point possède un voisinage de la forme $ \cap_{i\in I} \{ x / f_i(x-x_0)<\epsilon _i \}$, et pour tout point $ x$ dans cette intersection on loge une boule ouverte centrée sur $ x$ de rayon $ inf \{ (\epsilon _i -{\parallel}x-x_0 {\parallel}) / {\parallel}f_i {\parallel}_\infty \vert i\in I\}$): il s'agit là d'un ouvert pour la topologie forte.
$ \bullet\ $Réciproquement, soit $ x$ dans $ E$, et $ U$ un ouvert (pour la topologie forte) contenant $ x$. On cherche à construire un ouvert pour la topologie faible qui contienne $ x$ et qui soit inclus dans $ U$. On peut naturellement se restreindre à $ U=B(x,\epsilon )$, boule ouverte de centre $ x$ et de rayon $ r$.
$ \bullet\ $On fixe $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$ de vecteurs de norme $ 1$.
$ \bullet\ $On note $ (f_i)_{i\in [1,n]}$ la famille des applications telles que $ \forall t\in E\ t=\sum_{i\in [1,n]} f_i(t)$.
$ \bullet\ $On peut alors écrire $ {\parallel}t-x {\parallel}\leq \sum_{i\in [1,n]} \vert f_i(t-x)\vert$.
$ \bullet\ $Il suffit alors d'écrire $ V=\{t/ \vert f_i(t-x)\vert < \epsilon /n\}$ pour avoir un ouvert $ V$ pour la topologie faible inclus dans $ U$ et contenant $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$
On verra en partie [*] que cette propriété est caractéristique de la dimension finie.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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