Théorème
Soit un espace vectoriel normé , et convexe inclus dans . Alors est faiblement fermé (i.e. fermé pour la topologie faible) si et seulement si est fortement fermé (i.e. fermé pour la topologie forte).
On trouvera une application avec la proposition .
Démonstration:Il est clair que si est faiblement fermé, alors il est fortement fermé. Il suffit donc de se préoccuper de la réciproque.
Supposons maintenant fortement fermé.
On se donne un point appartenant au complémentaire de .
D'après le théorème il existe un hyperplan fermé qui
sépare et au sens strict.
L'hyperplan délimites deux demi-espaces faiblement ouverts, dont l'un contient
et est inclus dans le complémentaire de .
a donc un complémentaire faiblement ouvert, et est donc faiblement fermé. Théorème
Soient et des espaces de Banach. On se donne une application linéaire de dans . Alors est continue pour et munis chacun de sa topologie faible si et seulement si est continue pour et munis de leur topologie d'espaces vectoriels normés (ie la topologie forte).
Démonstration:Supposons tout d'abord que est continue de dans pour la topologie forte, et montrons que est continue pour la topologie faible.
- on va procéder en montrant que pour toute forme linéaire continue sur , l'application est continue ( de muni de la topologie faible dans
).
- soit donc .
- est continue pour la topologie forte, et linéaire.
- est donc continue pour la topologie faible aussi (puisque, par définition, la topologie faible rend continues toutes les formes linéaires continues).
Supposons maintenant que est continue de dans pour la topologie faible, et montrons que est continue pour la topologie forte.
- le graphe de est alors fermé dans le produit
, muni de la topologie produit des topologies faibles de et .
- le graphe de est donc aussi fermé pour le produit des topologies fortes car ce graphe est un convexe faiblement fermé de de
, et donc est continue pour la topologie forte (re-utilisation du théorème du graphe fermé ). suivant:Espaces de Hölder monter:Liens entre topologie faible précédent:En dimension finieIndex
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
un espace vectoriel normé , et 
convexe inclus dans 
On trouvera une application avec la proposition ![[*]](/images/crossref.png)
Il est clair que si 
appartenant au complémentaire de 
au sens strict.
des espaces de Banach
une application linéaire de 
sur 
est continue ( de 
).
.
, muni de la topologie produit des topologies faibles de 
