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Dans le cas général

Théorème Soit $ E$ un espace vectoriel normé , et $ C$ convexe inclus dans $ E$. Alors $ C$ est faiblement fermé (i.e. fermé pour la topologie faible) si et seulement si $ C$ est fortement fermé (i.e. fermé pour la topologie forte).
Application(s)... On trouvera une application avec la proposition [*].
Démonstration: $ \bullet\ $Il est clair que si $ C$ est faiblement fermé, alors il est fortement fermé. Il suffit donc de se préoccuper de la réciproque.
$ \bullet\ $Supposons maintenant $ C$ fortement fermé.
$ \bullet\ $On se donne un point $ x$ appartenant au complémentaire de $ C$.
$ \bullet\ $D'après le théorème [*] il existe un hyperplan fermé qui sépare $ C$ et $ \{x\}$ au sens strict.
$ \bullet\ $L'hyperplan délimites deux demi-espaces faiblement ouverts, dont l'un contient $ x$ et est inclus dans le complémentaire de $ C$.
$ \bullet\ $$ C$ a donc un complémentaire faiblement ouvert, et $ C$ est donc faiblement fermé.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème Soient $ E$ et $ F$ des espaces de Banach. On se donne $ T$ une application linéaire de $ E$ dans $ F$. Alors $ T$ est continue pour $ E$ et $ F$ munis chacun de sa topologie faible si et seulement si $ T$ est continue pour $ E$ et $ F$ munis de leur topologie d'espaces vectoriels normés (ie la topologie forte).
Démonstration: $ \bullet\ $Supposons tout d'abord que $ T$ est continue de $ E$ dans $ F$ pour la topologie forte, et montrons que $ T$ est continue pour la topologie faible.
- on va procéder en montrant que pour toute forme linéaire continue $ f$ sur $ F$, l'application $ f\circ T$ est continue ( de $ E$ muni de la topologie faible dans $ \mathbb{R}$).
- soit donc $ f \in F'$.
- $ f\circ T$ est continue pour la topologie forte, et linéaire.
- $ f\circ T$ est donc continue pour la topologie faible aussi (puisque, par définition, la topologie faible rend continues toutes les formes linéaires continues).
$ \bullet\ $Supposons maintenant que $ T$ est continue de $ E$ dans $ F$ pour la topologie faible, et montrons que $ T$ est continue pour la topologie forte.
- le graphe de $ T$ est alors fermé dans le produit $ E \times F$, muni de la topologie produit des topologies faibles de $ E$ et $ F$.
- le graphe de $ T$ est donc aussi fermé pour le produit des topologies fortes car ce graphe est un convexe faiblement fermé de $ E \times F$ de $ E \times F$, et donc $ T$ est continue pour la topologie forte (re-utilisation du théorème du graphe fermé [*]). $ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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