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Théorème de Cantor-Bernstein

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Espaces

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Espaces $Lip_\alpha (\Omega)$

Définition On dit qu'une application d'un métrique

dans $\mathbb{C}$ vérifie la condition de Hölder d'ordre $\alpha$ si il existe

dans $\mathbb{R}^+$ tel que pour tous

dans

$\vert f(x)-f(y) \vert \leq C d(x,y)^\alpha$ .
Etant donné $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $\alpha$ un réel appartenant à

, on note $Lip_\alpha (\Omega)$ l'ensemble des applications bornées de $\Omega$ dans $\mathbb{C}$ vérifiant la condition de Hölder d'ordre $\alpha$ sur $\Omega$ .
Etant donné

dans $Lip_\alpha (\Omega)$

, on note ${\parallel}f {\parallel}_\alpha$ le réel ${\parallel}f {\parallel}_\infty + \sup_{x\neq y} \frac{\vert f(x)-f(y)\vert}{{\parallel}x-y {\parallel}^\alpha }$ . Il s'agit d'une norme.

définir $Lip_\alpha$ pour $\alpha >1$ serait peu intéressant, car on travaillerait sur des fonctions localement constantes sur un ouvert, c'est à dire, les composantes connexes d'un ouvert étant ouvertes et dénombrables, sur $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ ...
Proposition $\bullet\$ Toute fonction dans $Lip_\alpha (\Omega)$

est uniformément continue

.
$\bullet\$ Toute fonction dans $Lip_\alpha (\Omega)$ se prolonge en une fonction continue sur $\overline \Omega$ .
$\bullet\$ Si $0<\alpha \leq \beta \leq 1$ , alors $Lip_\beta (\Omega) \subset Lip_\alpha (\Omega)$
$\bullet\$ Toute fonction

à dérivée bornée est dans $Lip_\alpha$ pour tout $\alpha \in]0,1]$ .
Démonstration: La plupart des points sont évidents; le prolongement en une fonction continue utilise le fait que $\mathbb{C}$ est complet, le fait que $\Omega$ est dense dans $\overline \Omega$ , l'uniforme continuité de toute fonction dans $Lip_\alpha (\Omega)$ et le théorème

. $\sqcap$ $\sqcup$
Théorème $Lip_\alpha (\Omega)$

(muni de la norme ${\parallel}. {\parallel}_\alpha$ )est un espace de Banach

.
Démonstration: $\bullet\$ Donnons-nous

une suite de Cauchy dans $Lip_\alpha (\Omega)$ .
$\bullet\$

est aussi de Cauchy pour la norme ${\parallel}. {\parallel}_\infty$ .
$\bullet\$ Soit donc

la limite de la suite

pour la convergence uniforme.
$\bullet\$

est bien bornée, puisque limite uniforme de fonctions bornées.
$\bullet\$ $\vert f_m(x)-f_m(y)\vert\leq \underbrace{{\parallel}f_p {\parallel}_\alpha }_{\mbox{bornée.}} {\parallel}x-y {\parallel}^\alpha$
$\bullet\$ On fait alors tendre