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Espaces $ Lip_\alpha (\Omega)$

Définition On dit qu'une application d'un métrique $ E$ dans $ \mathbb{C}$ vérifie la condition de Hölder d'ordre $ \alpha $ si il existe $ C$ dans $ \mathbb{R}^+$ tel que pour tous $ x$ et $ y$ dans $ E$ $ \vert f(x)-f(y) \vert \leq C d(x,y)^\alpha $.
Etant donné $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$ et $ \alpha $ un réel appartenant à $ ]0,1]$, on note $ Lip_\alpha (\Omega)$ l'ensemble des applications bornées de $ \Omega$ dans $ \mathbb{C}$ vérifiant la condition de Hölder d'ordre $ \alpha $ sur $ \Omega$.
Etant donné $ f$ dans $ Lip_\alpha (\Omega)$, on note $ {\parallel}f {\parallel}_\alpha $ le réel $ {\parallel}f {\parallel}_\infty + \sup_{x\neq y} \frac{\vert f(x)-f(y)\vert}{{\parallel}x-y {\parallel}^\alpha }$. Il s'agit d'une norme.
Remarque définir $ Lip_\alpha $ pour $ \alpha >1$ serait peu intéressant, car on travaillerait sur des fonctions localement constantes sur un ouvert, c'est à dire, les composantes connexes d'un ouvert étant ouvertes et dénombrables, sur $ \mathbb{R}^n$ ou $ \mathbb{R}^\mathbb{N}$ ...
Proposition $ \bullet\ $Toute fonction dans $ Lip_\alpha (\Omega)$ est uniformément continue.
$ \bullet\ $Toute fonction dans $ Lip_\alpha (\Omega)$ se prolonge en une fonction continue sur $ \overline \Omega$.
$ \bullet\ $Si $ 0<\alpha \leq \beta \leq 1$, alors $ Lip_\beta (\Omega) \subset Lip_\alpha (\Omega)$
$ \bullet\ $Toute fonction $ C^1$ à dérivée bornée est dans $ Lip_\alpha $ pour tout $ \alpha \in]0,1]$.
Démonstration: La plupart des points sont évidents; le prolongement en une fonction continue utilise le fait que $ \mathbb{C}$ est complet, le fait que $ \Omega$ est dense dans $ \overline \Omega$, l'uniforme continuité de toute fonction dans $ Lip_\alpha (\Omega)$ et le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème $ Lip_\alpha (\Omega)$ (muni de la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\alpha $)est un espace de Banach.
Démonstration: $ \bullet\ $Donnons-nous $ (f_m)$ une suite de Cauchy dans $ Lip_\alpha (\Omega)$.
$ \bullet\ $$ (f_m)$ est aussi de Cauchy pour la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$.
$ \bullet\ $Soit donc $ f$ la limite de la suite $ (f_m)$ pour la convergence uniforme.
$ \bullet\ $$ f$ est bien bornée, puisque limite uniforme de fonctions bornées.
$ \bullet\ $ $ \vert f_m(x)-f_m(y)\vert\leq \underbrace{{\parallel}f_p {\parallel}_\alpha }_{\mbox{bornée.}} {\parallel}x-y {\parallel}^\alpha $
$ \bullet\ $On fait alors tendre $ m$ vers $ \infty$, et on constate que $ f$ vérifie la condition de Hölder d'ordre $ \alpha $.
$ \bullet\ $Vérifier que $ f_m$ tend vers $ f$ pour $ {\parallel}. {\parallel}_\alpha $ est facile...$ \sqcap$$ \sqcup$
Remarque Il existe une fonction qui soit dans $ Lip_\alpha (\mathbb{R})$ pour tout $ \alpha $ dans $ ]0,1[$ mais pas dans $ Lip_1(\mathbb{R})$; par exemple la fonction définie au théorème [*]. Montrer ce fait est toutefois fortement non trivial...

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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