Définition
On dit qu'une application d'un métrique dans
vérifie la condition de Hölder d'ordre si il existe dans
tel que pour tous et dans .
Etant donné un ouvert de
et un réel appartenant à , on note
l'ensemble des applications bornées de dans
vérifiant la condition de Hölder d'ordre sur .
Etant donné dans
, on note
le réel
. Il s'agit d'une norme.
définir
pour serait peu intéressant, car on travaillerait sur des fonctions localement constantes sur un ouvert, c'est à dire, les composantes connexes d'un ouvert étant ouvertes et dénombrables, sur
ou
...
PropositionToute fonction dans
est uniformément continue.
Toute fonction dans
se prolonge en une fonction continue sur
.
Si
, alors
Toute fonction à dérivée bornée est dans
pour tout
.
Démonstration:La plupart des points sont évidents; le prolongement en une fonction continue utilise le fait
que
est complet, le fait que est dense dans
, l'uniforme continuité de toute fonction dans
et le théorème . Théorème (muni de la norme
)est un espace de Banach.
Démonstration:Donnons-nous une suite de Cauchy dans
.
est aussi de Cauchy pour la norme
.
Soit donc la limite de la suite pour la convergence uniforme.
est bien bornée, puisque limite uniforme de fonctions bornées.
On fait alors tendre vers , et on constate que vérifie la condition
de Hölder d'ordre .
Vérifier que tend vers pour
est facile... Il existe une fonction qui soit dans
pour tout dans mais
pas dans
; par exemple la fonction définie au théorème . Montrer ce fait est toutefois fortement non trivial...
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