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Espaces $C^{k,\alpha }(\Omega)$

Définition [Espaces de Hölder] Etant donné $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , $\alpha$ dans

, $k\in \mathbb{N}$ , on définit par récurrence sur

les espaces $C^{k,\alpha }(\Omega)$

par

$\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega)=Lip_\alpha (\Omega)$

$\displaystyle k\geq 1 \Rightarrow$

$\displaystyle C^{k,\alpha }(\Omega)= \{ f$ bornée de $\Omega$ dans

$\displaystyle / \forall i\in[1,n] {\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ existe et appartient à $C^{k-1,\alpha }(\Omega)$ $\displaystyle \}$

Cette définition équivaut à (voir définition

pour les opérations sur $\mathbb{N}^n$ ):

$\displaystyle C^{k,\alpha }(\Omega)=\{ f \in C^k(\Omega) / f$ bornée $\displaystyle \land \forall \nu / \vert \nu \vert \leq k \Rightarrow D^\nu f \in Lip_\alpha (\Omega)$

On munit $C^{k,\alpha }(\Omega)$ de la norme $f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }=\sum_{\vert\nu\vert\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\alpha$ .
De manière équivalente, ${\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }=\sum_{\nu \leq k} ({\parallel}D^\nu f {\p... ..._{x\neq y} \frac{\vert f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)\vert}{\vert x-y\vert^\alpha })$ (c'est la même expression développée!) et la norme suivante est équivalente à celle-ci:

$\displaystyle f\mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }' = \sum_{\vert\nu\v... ...vert=k} \sup_{x\neq y} \frac{f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)}{\vert x-y\vert^\alpha }$

Bien sûr il convient de vérifier l'équivalence des deux définitions.
Quelques résultats sans preuve:
Théorème $\bullet\$ $C^{k,\alpha }(\Omega)$

est un espace de Banach

.
$\bullet\$ Les fonctions de $C^{k,\alpha }(\Omega)$ sont prolongeables par continuité sur $\overline \Omega$ en fonctions vérifiant la condition de Hölder pour toutes les dérivées $\leq k$ .
$\bullet\$ $k+\alpha \geq k'+\alpha '$ implique $C^{k,\alpha } \subset C^{k',\alpha '}$
$\bullet\$ ${\parallel}uv {\parallel}_{k,\alpha } \leq {\parallel}u {\parallel}_{k,\alpha } {\parallel}v {\parallel}_{k,\alpha }$
Pour plus d'informations sur les espaces de Hölder, on pourra consulter le livre [22].