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Espaces $ C^{k,\alpha }(\Omega)$

Définition [Espaces de Hölder] Etant donné $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$, $ \alpha $ dans $ ]0,1]$, $ k\in \mathbb{N}$, on définit par récurrence sur $ k$ les espaces $ C^{k,\alpha }(\Omega)$ par

$\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega)=Lip_\alpha (\Omega)$

$\displaystyle k\geq 1 \Rightarrow$

$\displaystyle C^{k,\alpha }(\Omega)= \{ f$    bornée de $ \Omega$ dans $ C$$\displaystyle / \forall i\in[1,n] {\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ existe et appartient à $ C^{k-1,\alpha }(\Omega)$$\displaystyle \}$

Cette définition équivaut à (voir définition [*] pour les opérations sur $ \mathbb{N}^n$):

$\displaystyle C^{k,\alpha }(\Omega)=\{ f \in C^k(\Omega) / f$    bornée $\displaystyle \land \forall \nu / \vert \nu \vert \leq k \Rightarrow D^\nu f \in Lip_\alpha (\Omega)$

On munit $ C^{k,\alpha }(\Omega)$ de la norme $ f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }=\sum_{\vert\nu\vert\leq k} {\parallel}D^\nu f {\parallel}_\alpha $.
De manière équivalente, $ {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }=\sum_{\nu \leq k} ({\parallel}D^\nu f {\p...
..._{x\neq y} \frac{\vert f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)\vert}{\vert x-y\vert^\alpha })$ (c'est la même expression développée!) et la norme suivante est équivalente à celle-ci:

$\displaystyle f\mapsto {\parallel}f {\parallel}_{k,\alpha }' = \sum_{\vert\nu\v...
...vert=k} \sup_{x\neq y} \frac{f^{(\nu)}(x)-f^{(\nu)}(y)}{\vert x-y\vert^\alpha }$

Remarque Bien sûr il convient de vérifier l'équivalence des deux définitions.
Quelques résultats sans preuve:
Théorème $ \bullet\ $ $ C^{k,\alpha }(\Omega)$ est un espace de Banach.
$ \bullet\ $Les fonctions de $ C^{k,\alpha }(\Omega)$ sont prolongeables par continuité sur $ \overline \Omega$ en fonctions vérifiant la condition de Hölder pour toutes les dérivées $ \leq k$.
$ \bullet\ $ $ k+\alpha \geq k'+\alpha '$ implique $ C^{k,\alpha } \subset C^{k',\alpha '}$
$ \bullet\ $ $ {\parallel}uv {\parallel}_{k,\alpha } \leq {\parallel}u {\parallel}_{k,\alpha } {\parallel}v {\parallel}_{k,\alpha }$
Pour plus d'informations sur les espaces de Hölder, on pourra consulter le livre [22].

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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