La topologie faible n'est pas la topologie forte en dimension infinie
Proposition
Soit un Banach de dimension infinie. Alors la topologie faible est différente de la topologie forte.
Démonstration:
On a vu au théorème que si la dimension est finie, alors la topologie faible et la topologie forte sont égales. On a aussi vu que dans le cas général, la topologie forte est plus fine que la topologie faible. On va montrer ici que la topologie forte est strictement plus fine en dimension infinie, en exhibant un ouvert pour la topologie forte qui n'est pas ouvert pour la topologie faible, ou, ce qui revient au même par passage au complémentaire, un fermé pour la topologie forte qui n'est pas fermé pour la topologie faible.
On considère la sphère unité de . Elle est fermée, comme image réciproque d'un singleton (donc un fermé) par une application continue (la norme).
On va chercher à déterminer l'adhérence de pour la topologie faible.
Soit de norme .
On se donne un voisinage de pour la topologie faible.
Alors (propriété de base de la topologie faible), contient une
intersection d'un nombre fini de
.
Les étant en nombre fini, l'intersection de leurs noyaux ne saurait être réduite à 0 (en effet sinon l'application qui à associe
serait injective, et donc la dimension de serait finie).
On peut donc choisir non nul tel que pour tout .
est dans pour tout .
est minoré par
, et donc
en faisant tendre vers
on conclut que intersecte .
On en déduit d'un coup que la boule ouverte de rayon n'est pas ouverte, que la sphère de rayon n'est pas fermée, et que l'adhérence de la sphère de rayon contient au moins la boule fermée de rayon . La boule unité fermée du dual d'un espace vectoriel normé étant compacte pour la topologie faible (voir théorème ), cette boule est fermée pour la topologie faible1.5; et donc l'adhérence de la sphère unité est bien la boule unité fermée.
un Banach de dimension infinie. Alors la topologie faible
![[*]](/images/crossref.png)
On considère la sphère unité 
de 
de norme 
.
un voisinage de 
.
étant en nombre fini, l'intersection de leurs noyaux ne saurait être réduite à 0 (en effet sinon l'application qui à 
associe
serait injective, et donc la dimension de 
non nul tel que 
pour tout 
.
est dans 
.
est minoré par
, et donc
en faisant tendre 
on conclut que 
n'est pas ouverte, que la sphère de rayon 
est un convexe fermé pour la topologie forte, donc est fermée pour la topologie faible (théorème 
