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La topologie faible n'est pas la topologie forte en dimension infinie

Proposition Soit $ E$ un Banach de dimension infinie. Alors la topologie faible est différente de la topologie forte.
Démonstration: On a vu au théorème [*] que si la dimension est finie, alors la topologie faible et la topologie forte sont égales. On a aussi vu que dans le cas général, la topologie forte est plus fine que la topologie faible. On va montrer ici que la topologie forte est strictement plus fine en dimension infinie, en exhibant un ouvert pour la topologie forte qui n'est pas ouvert pour la topologie faible, ou, ce qui revient au même par passage au complémentaire, un fermé pour la topologie forte qui n'est pas fermé pour la topologie faible.
$ \bullet\ $On considère la sphère unité $ S$ de $ E$. Elle est fermée, comme image réciproque d'un singleton (donc un fermé) par une application continue (la norme).
$ \bullet\ $On va chercher à déterminer l'adhérence de $ S$ pour la topologie faible.
$ \bullet\ $Soit $ x$ de norme $ <1$.
$ \bullet\ $On se donne $ U$ un voisinage de $ x$ pour la topologie faible.
$ \bullet\ $Alors (propriété de base de la topologie faible), $ U$ contient une intersection d'un nombre fini de $ \{t/ \vert f_i(x-t) \vert < \epsilon _i \}$.
$ \bullet\ $Les $ f_i$ étant en nombre fini, l'intersection de leurs noyaux ne saurait être réduite à 0 (en effet sinon l'application qui à $ t$ associe $ (f_1(t),...,f_n(t))$ serait injective, et donc la dimension de $ E$ serait finie).
$ \bullet\ $On peut donc choisir $ y$ non nul tel que $ f_i(y)=0$ pour tout $ i$.
$ \bullet\ $ $ x+{\lambda}.y$ est dans $ U$ pour tout $ {\lambda}$.
$ \bullet\ $ $ {\parallel}x+{\lambda}.y {\parallel}$ est minoré par $ \vert\ \vert{\lambda}\vert.{\parallel}y {\parallel}- {\parallel}x {\parallel}\ \vert$, et donc en faisant tendre $ {\lambda}$ vers $ \pm \infty$ on conclut que $ U$ intersecte $ S$.
$ \bullet\ $On en déduit d'un coup que la boule ouverte de rayon $ 1$ n'est pas ouverte, que la sphère de rayon $ 1$ n'est pas fermée, et que l'adhérence de la sphère de rayon $ 1$ contient au moins la boule fermée de rayon $ 1$. La boule unité fermée du dual d'un espace vectoriel normé étant compacte pour la topologie faible (voir théorème [*]), cette boule est fermée pour la topologie faible1.5; et donc l'adhérence de la sphère unité est bien la boule unité fermée.$ \sqcap$$ \sqcup$


Notes

... faible1.5
On peut aussi éviter l'utilisation de [*] en disant que $ \overline B(0,1)$ est un convexe fermé pour la topologie forte, donc est fermée pour la topologie faible (théorème [*])

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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