Rappelons que est le dual de , c'est à dire l'ensemble des formes linéaires continues sur . En tant que dual d'un espace vectoriel normé , est un Banach, c'est à dire qu'il est normé complet.
est muni naturellement de deux topologies déjà vues; d'une part la topologie forte (c'est à dire la topologie de la norme
, avec
- étant la sphère unité), d'autre part la topologie faible - définie par rapport à son dual , c'est à dire le bidual de .
On va introduire une troisième topologie, encore moins fine que la topologie faible; la topologie faible-*.
, c'est à dire l'ensemble des formes linéaires continues sur 
, avec
- 
étant la sphère unité), d'autre part la topologie faible - définie par rapport à son dual 
, c'est à dire le bidual 
de 
