Pour plus d'informations on consultera le livre [2].
Définition
On définit une injection canonique de dans son bidual par
. A tout élement de on associe donc une forme linéaire continue sur (il s'agit donc bien d'un élément de .
On notera , pour dans , l'application qui à dans associe .
PropositionIl s'agit bien d'une injection (voir résultat ).
Il s'agit d'une isométrie (voir corollaire ).
Il ne s'agit pas nécessairement d'une bijection; c'est toutefois le
cas lorsque est de dimension finie ou est un espace de Hilbert. Par définition, l'espace est dit réflexif lorsqu'il s'agit d'une bijection.
Définition
La topologie faible étoile, alias topologie faible-*, est la topologie engendrée par la famille des pour dans .
On notera
la convergence de la suite vers dans pour la topologie faible *.
PropositionLa topologie faible * est séparée.
si et seulement si pour tout .
Convergence forte convergence faible convergence faible-*
Si
alors
est bornée et
Si
et alors
suivant:Un résultat utilisant le monter:Les topologies sur précédent:Les topologies sur
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud