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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

La topologie faible-*

suivant: Un résultat utilisant le monter: Les topologies sur précédent: Les topologies sur Index

La topologie faible-*

Pour plus d'informations on consultera le livre [2].
Définition On définit une injection canonique de dans son bidual par $x \mapsto (f \mapsto f(x))$ . A tout élement de

on associe donc une forme linéaire continue sur

(il s'agit donc bien d'un élément de

. On notera $\phi_x$ , pour

dans

, l'application qui à

dans

associe

.
Proposition $\bullet\$ Il s'agit bien d'une injection (voir résultat

).
$\bullet\$ Il s'agit d'une isométrie (voir corollaire

).
$\bullet\$ Il ne s'agit pas nécessairement d'une bijection; c'est toutefois le cas lorsque

est de dimension finie ou est un espace de Hilbert. Par définition, l'espace

est dit réflexif lorsqu'il s'agit d'une bijection.
Définition La topologie faible étoile, alias topologie faible-*, est la topologie engendrée par la famille des $\phi_x$

pour

dans

.
On notera $f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ la convergence de la suite

vers

dans

pour la topologie faible *.
Proposition $\bullet\$ La topologie faible *

est séparée

.
$\bullet\$ $f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ si et seulement si pour tout

$f_n(x) \to f(x)$ .
$\bullet\$ Convergence forte

$\geq$ convergence faible

$\geq$ convergence faible-*
$\bullet\$ Si $f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ alors ${\parallel}f_n {\parallel}$ est bornée et ${\parallel}f {\parallel}\leq liminf {\parallel}f_n {\parallel}$
$\bullet\$ Si $f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ et $x_n \to x$ alors $f_n(x_n) \to f(x)$