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La topologie faible-*

Pour plus d'informations on consultera le livre [2].
Définition On définit une injection canonique de $ E$ dans son bidual $ E''$ par $ x \mapsto (f \mapsto f(x))$. A tout élement de $ E$ on associe donc une forme linéaire continue sur $ E'$ (il s'agit donc bien d'un élément de $ E''$. On notera $ \phi_x$, pour $ x$ dans $ E$, l'application qui à $ f$ dans $ E'$ associe $ f(x)$.
Proposition $ \bullet\ $Il s'agit bien d'une injection (voir résultat [*]).
$ \bullet\ $Il s'agit d'une isométrie (voir corollaire [*]).
$ \bullet\ $Il ne s'agit pas nécessairement d'une bijection; c'est toutefois le cas lorsque $ E$ est de dimension finie ou est un espace de Hilbert. Par définition, l'espace $ E$ est dit réflexif lorsqu'il s'agit d'une bijection.
Définition La topologie faible étoile, alias topologie faible-*, est la topologie engendrée par la famille des $ \phi_x$ pour $ x$ dans $ E$.
On notera $ f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ la convergence de la suite $ f_n$ vers $ f$ dans $ E'$ pour la topologie faible *.
Proposition $ \bullet\ $La topologie faible * est séparée.
$ \bullet\ $ $ f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ si et seulement si pour tout $ x$ $ f_n(x) \to f(x)$.
$ \bullet\ $Convergence forte $ \geq$ convergence faible $ \geq$ convergence faible-*
$ \bullet\ $Si $ f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ alors $ {\parallel}f_n {\parallel}$ est bornée et $ {\parallel}f {\parallel}\leq liminf {\parallel}f_n {\parallel}$
$ \bullet\ $Si $ f_n {*\atop \rightharpoonup }f$ et $ x_n \to x$ alors $ f_n(x_n) \to f(x)$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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