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Un résultat utilisant le théorème d'isomorphisme de Banach cabc8 , le théorème d'Ascoli aavg3 et le théorème de Riesz aabt4 next up previous index
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Un résultat utilisant le théorème d'isomorphisme de Banach, le théorème d'Ascoli et le théorème de Riesz

Théorème Soit $ E$ l'espace vectoriel des applications continues de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$ muni de $ {\parallel}f {\parallel}_0=max_{[0,1]} {\parallel}f(t) {\parallel}$. Alors tout sous-espace vectoriel de $ E$ formé de fonctions $ C^1$ et fermé (pour la topologie de $ (E,{\parallel}.{\parallel}_0)$) est de dimension finie.
Démonstration: Soit $ F$ un tel sous-espace.
$ \bullet\ $$ F$ est un Banach pour la norme $ {\parallel}.{\parallel}_1$, où $ {\parallel}f {\parallel}_1={\parallel}f {\parallel}_0+{\parallel}f' {\parallel}_0$. Prouvons-le:
- Soit $ (f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $ (F,{\parallel}. {\parallel}_1)$.
- $ f_n$ est aussi de Cauchy dans $ (F,{\parallel}. {\parallel}_0)$.
- $ f_n'$ aussi.
- $ f_n$ et $ f'_n$ convergent donc vers deux fonctions, disons $ f$ et $ g$ respectivement, continues.
- pour tout $ t$ dans $ [0,1]$, $ \int_0^t f_n'(u) du \to \int_0^t g(u) du$.
- donc $ f_n(t)-f_n(0) \to \int_0^t g$, donc $ f(t)-f(0) = \int_0^t g$
- donc $ g=f'$
- donc $ f_n \to f$ dans $ (F,{\parallel}. {\parallel}_1)$.
$ \bullet\ $La norme $ {\parallel}.{\parallel}_1$, définie par $ {\parallel}f {\parallel}_1={\parallel}f {\parallel}_0+{\parallel}f' {\parallel}_0$ pour $ f$ $ C^1$, est majorée sur $ F$ par $ A.{\parallel}f_0 {\parallel}$, pour un certain $ A>0$. Prouvons-le:
- Considérons l'application $ J$ identité de $ (F,{\parallel}. {\parallel}_1)$ dans $ (F,{\parallel}. {\parallel}_0)$, où $ {\parallel}f {\parallel}_1={\parallel}f {\parallel}_0+{\parallel}f' {\parallel}_0$.
- $ F$ est fermé dans $ (E,{\parallel}.{\parallel}_0)$, donc $ (F,{\parallel}. {\parallel}_0)$ est un Banach.
- $ F$ est aussi un Banach dans $ (E,{\parallel}. {\parallel}_1)$ (voir le $ \bullet\ $précédent).
- $ J$ est linéaire, continue, bijective entre $ 2$ Banach; c'est donc un homéomorphisme.
- ainsi par le théorème d'isomorphisme de Banach ([*]), on a bien le résultat annoncé.
$ \bullet\ $Soit maintenant $ B=\overline {\{ f \in F / {\parallel}f {\parallel}_0 \leq 1 \}}$. Alors $ B$ est équicontinue. Prouvons-le:
- $ {\parallel}f {\parallel}_1 \leq A.{\parallel}f {\parallel}_0 \leq A$, pour tout $ f \in B$, donc par l'inégalité des accroissements finis, $ B$ est équicontinue.
$ \bullet\ $Pour tout $ x$ dans $ [0,1]$, l'ensemble des $ f(x)$ pour $ f$ dans $ B$ est inclus dans $ [-1,1]$, par définition de $ B$; donc cet ensemble est relativement compact.
$ \bullet\ $Par le théorème d'Arzéla-Ascoli, et grâce aux deux points précédents, $ B$ est relativement compacte. $ B$ est fermée par définition.
$ \bullet\ $Par le théorème de Riesz [*], $ F$ est donc de dimension finie.$ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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