Un résultat utilisant le théorème d'isomorphisme de Banach cabc8 , le théorème d'Ascoli aavg3 et le théorème de Riesz aabt4 suivant:Index monter:Les topologies sur précédent:La topologie faible-*Index
Théorème
Soit l'espace vectoriel des applications continues de dans
muni de
. Alors tout sous-espace vectoriel de formé de fonctions et fermé (pour la topologie de
) est de dimension finie.
Démonstration:Soit un tel sous-espace.
est un Banach pour la norme
, où
. Prouvons-le:
- Soit
une suite de Cauchy dans
.
- est aussi de Cauchy dans
.
- aussi.
- et convergent donc vers deux fonctions, disons et respectivement, continues.
- pour tout dans ,
.
- donc
, donc
- donc
- donc dans
.
La norme
, définie par
pour , est majorée sur par
, pour un certain . Prouvons-le:
- Considérons l'application identité de
dans
, où
.
- est fermé dans
, donc
est un Banach.
- est aussi un Banach dans
(voir le précédent).
- est linéaire, continue, bijective entre Banach; c'est donc un homéomorphisme.
- ainsi par le théorème d'isomorphisme de Banach (), on a bien le résultat annoncé.
Soit maintenant
. Alors est équicontinue. Prouvons-le:
-
, pour tout , donc par l'inégalité des accroissements finis, est équicontinue.
Pour tout dans , l'ensemble des pour dans est inclus dans , par définition de ; donc cet ensemble est relativement compact.
Par le théorème d'Arzéla-Ascoli, et grâce aux deux points précédents, est relativement compacte. est fermée par définition.
Par le théorème de Riesz , est donc de dimension finie. suivant:Index monter:Les topologies sur précédent:La topologie faible-*Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
l'espace vectoriel des applications continues de ![$ [0,1]$](/a/a/v/img189.png){kind=small}
dans
muni de
![$ {\parallel}f {\parallel}_0=max_{[0,1]} {\parallel}f(t) {\parallel}$](/a/a/v/img438.png){kind=small}
. Alors tout sous-espace vectoriel de 
et fermé (pour la topologie de
) est de dimension finie.
un tel sous-espace.
, où
. Prouvons-le:
une suite de Cauchy dans
.
est aussi de Cauchy dans
.
aussi.
convergent donc vers deux fonctions, disons 
et 
respectivement, continues.
dans 
.
, donc
dans
, pour un certain 
. Prouvons-le:
identité de
(voir le 
Banach; c'est donc un homéomorphisme.
![[*]](/images/crossref.png)
. Alors 
est équicontinue. Prouvons-le:
, pour tout 
, donc par l'inégalité des accroissements finis, 
dans 
pour ![$ [-1,1]$](/a/a/v/img458.png){kind=small}
, par définition de 
