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Hahn-Banach

$ \boxcircle$ Le théorème

Théorème [Théorème de Hahn-Banach des $ \mathbb{R}$-espace vectoriel ] Soit $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel , et $ p$ une application de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ telle que:
$ \bullet\ $ $ \forall (x,y) \in E, p(x+y) \leq p(x)+p(y)$
$ \bullet\ $ $ \forall x \in E, \forall {\lambda}\in \mathbb{R}^+, p({\lambda}.x)={\lambda}.p(x)$
Alors toute forme linéaire $ l$ sur $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$ telle que $ l(x) \leq p(x)$ peut être prolongée en une forme linéaire $ L$ sur $ E$ telle que $ \forall x,\ L(x) \leq p(x)$.
NB: noter que $ p$ norme ou semi-norme convient.
Application(s)... voir la partie "applications" juste un peu plus bas.
Démonstration: Cette preuve fait intervenir le lemme de Zorn (voir lemme [*]).
On considère l'ensemble $ I$ des formes linéaires $ f$ prolongeant $ l$ sur un certain sous-espace vectoriel $ D(f)$ de $ E$ contenant $ F$, et telle que $ f \leq p$ pour tout $ x$ de $ D(f)$.
On munit $ I$ de la relation d'ordre définie par

$\displaystyle f_1 \leq f_2 \iff D(f_1) \subset D(f_2) \land \forall x \in D(f_1) f_1(x)=f_2(x)$

$ I$ est inductif. En effet, si $ J$ est une partie de $ I$ totalement ordonnée, alors la fonction $ f$ définie par $ D(f) = \cup_{g\in J} D(g)$ et $ f(x)=g(x)$ si $ g\in J$ et $ x\in D(g)$ est un majorant de $ J$.
Par le lemme de Zorn (lemme [*]), on en déduit que $ I$ possède un élément maximal $ f$.
On suppose maintenant que $ D(f)\neq E$ (on va chercher à montrer que cette hypothèse est contradictoire). Alors on considère $ y$ n'appartenant pas à $ D(f)$. On définit $ f'$ sur $ D(f) + \mathbb{R}.y$ par $ f'(x+t.y)=f(x)+\alpha .t$, $ \alpha $ étant choisi tel que pour tout $ x$ dans $ D(f)$ on ait $ \alpha \leq p(x+y)-f(x)$ et $ \alpha \geq f(x)-p(x-y)$; ce qui est possible car $ f(x_1)+f(x_2)\leq p(x_1+x_2) \leq p(x_1+y) + p(x_2-y)$.
D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Des applications

$ \diamond$ Sur les formes linéaires

Corollaire Soit $ g$ une forme linéaire continue sur un sous-espace vectoriel d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé $ E$. Alors il existe une forme linéaire continue $ f$ sur $ E$ prolongeant $ g$ et telle que $ {\parallel}f {\parallel}= {\parallel}g {\parallel}$.
Démonstration: Application directe du théorème de Hahn-Banach.$ \sqcap$$ \sqcup$
( la norme sur l'espace dual, évoquée ici, est la norme usuelle, ici la norme de $ f$, forme linéaire continue, est le sup des $ {\parallel}f(x) {\parallel}$ pour $ x$ de norme $ 1$)
Corollaire Soit $ x$ dans un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé $ E$, alors il existe une forme linéaire continue $ f$ sur $ E$ telle que $ {\parallel}f {\parallel}= {\parallel}x {\parallel}$ et $ f(x)={\parallel}x {\parallel}^2$.
Démonstration: Il suffit de prolonger une application linéaire adéquate définie sur $ \mathbb{R}.x$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire Pour tout $ x$ d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé $ E$, on a $ {\parallel}x {\parallel}= sup_{f\in E' / {\parallel}f {\parallel}_\infty=1}\ {...
...=max_{f\in E' / {\parallel}f {\parallel}_\infty=1}\ {\parallel}f(x) {\parallel}$.
Démonstration: L'inégalité $ {\parallel}x{\parallel}\geq \sup_{f \in E'/{\parallel}f {\parallel}_\infty\leq 1}{\parallel}f(x) {\parallel}$ est évidente. Choisissons alors $ f_0$ donné par le corollaire précédent ( $ {\parallel}f_0 {\parallel}={\parallel}x {\parallel}$ et $ f_0(x)={\parallel}x {\parallel}^2$). On a

$\displaystyle {\parallel}f {\parallel}_\infty=\frac{{\parallel}f_0 {\parallel}_\infty}{{\parallel}x {\parallel}}=1$

$\displaystyle {\parallel}f(x) {\parallel}= \frac{{\parallel}f_0(x) {\parallel}}...
...{{\parallel}x {\parallel}^2}{{\parallel}x {\parallel}}={\parallel}x {\parallel}$

D'où le résultat annoncé.$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Ce corollaire servira pour la partie [*].

$ \diamond$ En géométrie

Théorème [>Séparation des convexes 1] Soient $ A$ et $ B$ des convexes non vides disjoints d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé $ E$; si $ A$ est ouvert, alors il existe une forme linéaire continue $ f$ sur $ E$ et un réel $ \alpha $ tels que $ f(x) \leq \alpha $ pour $ x\in A$ et $ f(x)\geq \alpha $ si $ x\in B$.
On notera que cela signifie précisément qu'il existe un hyperplan affine fermé (rappelons que l'image inverse d'un singleton par une forme linéaire non nulle est un hyperplan fermé si et seulement si cette forme linéaire est continue) séparant (au sens large) $ A$ et $ B$.
On peut en fait étendre le résultat à $ f(x)< \alpha $ (et non simplement $ \leq$).
Démonstration: On va avoir besoin de deux lemmes.
Lemme On se donne $ U$ un ouvert convexe contenant 0, et on définit $ \mu_U$ la jauge associée à $ U$, c'est-à-dire que $ \mu_U(x)$ est l'inf des réels $ t >0$ tels que $ t^{-1}.x \in U$.
Alors il existe un certain réel $ M$ tel que

$\displaystyle \forall x \ \mu_U(x) \leq M.{\parallel}x {\parallel}$

$\displaystyle U=\{ x / \mu_U(x)<1\}$

$\displaystyle \forall (x,{\lambda}) \in E \times \mathbb{R}^+\ \mu_U({\lambda}.x)={\lambda}.\mu_U(x)$

$\displaystyle \forall (x,y) \in E\ \mu_U(x+y) \leq \mu_U(x)+\mu_U(y)$

(les deux dernières conditions permettent d'utiliser le théorème de Hahn-Banach)
Démonstration: Pas très très dur (en le faisant dans cet ordre)...$ \sqcap$$ \sqcup$
Lemme Soit $ U$ un convexe non vide et $ y$ n'appartenant pas à $ U$. Alors il existe une forme linéaire continue $ f$ sur $ E$ avec $ f(x)<f(y)$ pour tout $ x$ dans $ E$.
Démonstration: $ \bullet\ $On montre le résultat dans le cas où 0 appartient à $ U$, et on généralise par une simple translation
$ \bullet\ $En supposant donc que $ 0 \in U$, on considère la jauge $ \mu_U$ (définie comme précédemment).
$ \bullet\ $On définit la forme linéaire $ g$ sur $ \mathbb{R}.y$ par $ g(t.y)=t$.
$ \bullet\ $Il est clair que $ g(x) \leq \mu_U(x)$
$ \bullet\ $On peut donc prolonger $ g$ à $ E$ tout entier; appelons $ f$ la forme linéaire obtenue avec $ f \leq \mu_U$.
$ \bullet\ $$ f$ est continue de par le lemme [*] (1ère propriété), et $ f$ vérifie les hypothèses demandées (deuxième propriété du lemme [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$
On peut maintenant en revenir à la démonstration du théorème, toujours non démontré.
$ \bullet\ $On note $ U=\{ x-y / (x,y) \in A\times B\}$.
$ \bullet\ $$ U$ est convexe
$ \bullet\ $$ U$ est ouvert (car $ A$ l'est)
$ \bullet\ $$ U$ ne contient pas 0
$ \bullet\ $On considère la fonction $ f$ donnée par le lemme [*] avec $ y=0$, c'est-à-dire négative sur tout $ U$.
$ \bullet\ $Le fait que $ f$ soit négative sur tout $ U$ se traduit exactement par le fait que pour tout $ (x,y)\in A \times B$ on ait $ f(x)<f(y)$. On considère alors $ \alpha $ le sup des $ f(x)$ pour $ x$ dans $ A$, et le résultat est démontré.
L'extension ($ <$ au lieu de $ \leq$) se montre comme suit:
- supposons qu'il existe $ x_0$ tel que $ f(x_0)=\alpha $.
- $ A$ ouvert implique qu'il existe $ \epsilon $ tel que $ B(x_0,\epsilon )$ soit incluse dans $ A$. (1)
- $ f$ non nulle implique qu'il existe $ g$ dans $ E$ de norme $ 1$ tel que $ f(g)>0$. (2)
- (1) implique que $ x_0'=x_0+\frac{\epsilon}2g \in A$.
- (2) implique que $ f(x_0')>\alpha $ ce qui est absurde!$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Séparation des convexes 2] Soient $ A$ et $ B$ deux convexes disjoints de $ E$ (toujours un espace vectoriel normé ), non vides. On suppose $ A$ fermé et $ B$ compact; alors il existe une forme linéaire continue $ f\neq 0$ avec $ f(A)\leq c_1$ et $ f(B) \geq c_2$ avec $ c_1<c_2$.
Cela signifie exactement que $ A$ et $ B$ sont séparés par un hyperplan fermé (puisque image inverse d'un singleton par une forme linéaire continue non nulle) au sens strict.
Application(s)... On montrera en utilisant ce théorème que la topologie faible est séparée; voir le corollaire [*].
Démonstration: $ \bullet\ $On se donne $ \epsilon $ positif.
$ \bullet\ $On note $ A_\epsilon $ le $ \epsilon $-voisinage de $ A$ (ie la réunion des boules ouvertes de rayon $ \epsilon $ de centre dans $ A$), et $ B_\epsilon $ le $ \epsilon $-voisinage de $ B$.
$ \bullet\ $On remarque que $ A_\epsilon $ et $ B_\epsilon $ sont ouverts (comme tous les $ \epsilon $ voisinages)
$ \bullet\ $Pour $ \epsilon $ assez petit, $ A_\epsilon $ et $ B_\epsilon $ sont disjoints
$ \bullet\ $D'après le théorème précédent, on peut séparer $ A_\epsilon $ et $ B_\epsilon $ au sens large par un hyperplan fermé.
$ \bullet\ $On a $ f \leq \alpha $ sur $ A$ et $ f>\alpha $ sur $ B$ compact donc $ f\geq \beta > \alpha $ sur $ B$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Pour y voir plus clair On retiendra donc que l'on peut séparer dans un espace vectoriel normé par un hyperplan fermé:
$ \bullet\ $au sens large, deux convexes disjoints dont l'un (au moins) est ouvert
$ \bullet\ $au sens strict, deux convexes disjoints dont l'un est fermé et l'autre compact.

$ \diamond$ En topologie

Corollaire Soit $ F$ un sous-espace vectoriel de $ E$ (qui est toujours un espace vectoriel normé ), qui n'est pas dense dans $ E$. Alors il existe une forme linéaire continue sur $ E$, non nulle, qui est nulle sur $ F$.
Démonstration: $ \bullet\ $On se donne $ x$ qui n'est pas dans l'adhérence de $ F$.
$ \bullet\ $$ \{x\}$ est compact.
$ \bullet\ $On peut séparer $ F$ et $ \{x\}$ au sens strict; soit $ f$ la forme linéaire correspondante. On suppose que $ f(F)< K < f(x)$
$ \bullet\ $$ f(F)<K$ implique $ f(F)=0$, puisque $ F$ est un espace vectoriel .$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire Si $ F$ est un sous-espace vectoriel de $ E$ et si toute forme linéaire continue sur $ F$ est nulle sur $ E$, alors $ F$ est dense dans $ E$.
Application(s)... Le théorème de Runge [*] sera démontré grâce à ce corollaire.
Démonstration: C'est une reformulation du corollaire précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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