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Le théorème de Baire et ses conséquences

Théorème [Théorème de Baire] Soit $ X$ un espace topologique. Si $ X$ est localement compact, ou s'il est métrique complet, alors
$ \bullet\ $Toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
$ \bullet\ $Une réunion dénombrable de fermés recouvrant $ X$ comporte un fermé d'intérieur non vide
Comme le signale le livre [2], on peut en fait énoncer plus précisément que l'intérieur de la réunion d'une suite de fermés d'intérieurs vides est vide.
Démonstration: Ce théorème ayant été prouvé (voir théorème [*]) je ne fais que le rappeler ici. Rappelons juste que les deux $ \bullet\ $sont équivalents (considérer les complémentaires des fermés du deuxième $ \bullet\ $)$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Notons que le théorème de Baire est en particulier valable pour les espaces de Banach.
Théorème [Théorème de Banach-Steinhaus] Ce théorème est dit aussi théorème de la borne uniforme.
On se donne $ E$ et $ F$ des espaces de Banach, et $ (T_i)_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires continues de $ E$ dans $ F$.
Si pour tout $ x$, $ \exists M / \forall i\in I / {\parallel}T_i(x) {\parallel}< M{\parallel}x {\parallel}$.
Alors $ \exists M / \forall i\in I / {\parallel}T_i {\parallel}< M$.
Ce théorème est plus intuitif sous son petit nom de "théorème de la borne uniforme". L'hypothèse est que l'on a une famille d'applications bornées sur chaque point; la conclusion est que l'on peut les borner uniformément (bien vérifier que l'on a des Banach).
Attention! Notez bien que la famille des $ T_i$ n'est pas nécessairement dénombrable!
Démonstration: La aussi je ne donne pas de preuve, puisqu'elle se trouve au théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... On verra une application à la transformation de Toeplitz (proposition [*]), qui fournit une preuve élégante de la moyenne de Césaro (corollaire [*]).
Corollaire Soient $ E$ et $ F$ deux Banach, et $ T_n$ une suite d'applications linéaires continues de $ E$ dans $ F$, avec $ T_n(x)$ convergeant pour tout $ x$ - on note par la suite $ T(x)$ sa limite.
Alors $ {\parallel}T_n {\parallel}$ est borné, $ T$ est linéaire continue, et $ {\parallel}T {\parallel}\leq liminf {\parallel}T_n {\parallel}$.
Démonstration: Application directe du théorème de Banach-Steinhaus.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire Soit $ E$ un espace vectoriel normé et $ X$ un sous-ensemble de $ E$.
On suppose que pour tout $ f$ appartenant à $ E'$ l'ensemble $ f(X)$ est borné.
Alors $ X$ est borné.
Démonstration: On applique Banach-Steinhaus dans $ E'$, avec pour famille d'applications linéaires les applications qui à $ f\in E'$ associe $ f(x)$, pour $ x\in X$.
Il faut bien noter que le dual d'un espace vectoriel normé est un Banach, et que ce résultat est nécessaire à cette preuve (voir corollaire [*]).
Noter aussi que ce résultat exprime que "faiblement borné" implique "fortement borné".
Cette façon de voir est d'ailleurs une belle illustration de la notion de "borne uniforme". Si une partie est bornée suivant "toutes les directions" (traduire: suivant toute forme linéaire), alors elle est bornée " tout court "...$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Théorème de l'application ouverte] Soient $ E$ et $ F$ des espaces de Banach, et $ T$ une application linéaire continue surjective de $ E$ dans $ F$. Alors $ T$ est ouverte (c'est à dire que l'image de tout ouvert par $ T$ est un ouvert.
Démonstration: voir le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Bien entendu, dans le cas où $ T$ est bijective, on en déduit le théorème d'isomorphisme de Banach [*], qui stipule qu'une bijection linéaire continue est de réciproque continue (et donc est un homéomorphisme).
Il faut noter un corollaire important: si un espace vectoriel $ E$ muni de la norme $ N_1$ est un espace de Banach, et si $ E$ muni de la norme $ N_2$ est aussi un espace de Banach, alors si $ N_1$ est plus fine que $ N_2$, alors en fait $ N_2$ est équivalente à $ N_1$.
Théorème [Théorème du graphe fermé] Soit $ T:E\rightarrow F$, linéaire entre les Banach $ E$ et $ F$. L'application $ T$ est continue si et seulement si le graphe de $ T$ est fermé dans $ E \times F$.
Démonstration: Voir le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Voir le théorème [*].

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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