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Autres définitions et propriétés indispensables

Il est indispensable de connaître la topologie faible, la topologie quotient, la topologie produit, la topologie forte, pour la suite. On travaillera exclusivement sur un espace de Banach $ E$, son dual sera un espace de Banach noté $ E'$ (comme tout dual d'espace vectoriel normé ). On notera $ S$ la sphère unité de $ E$, c'est à dire l'ensemble des vecteurs de norme $ 1$.
En résumé (on se reportera à la partie topologie [*] pour toute les preuves):
$ \bullet\ $Dans un espace vectoriel normé les opérations algébriques (multiplications par un scalaire et somme) sont continues. La norme est continue elle aussi.
$ \bullet\ $La topologie associée à la norme sur $ E$ est parfois appelée topologie forte.
$ \bullet\ $La topologie faible sur $ E$ est la topologie engendrée par la famille des applications linéaires continues; c'est a dire que c'est la topologie la moins fine qui rendre toutes ces applications linéaires continues continues (non c'est pas une erreur s'il y a deux fois le mot continu!), c'est à dire qu'une base d'ouverts est constituée par les intersections FINIES de "bandes" de la forme $ \{x/ \vert f_i(x-x_0)\vert<\epsilon _i\}$, pour certains $ f_i$ dans $ E'$, certains $ \epsilon _i>0$, et un certain $ x_0$ dans $ E$. La boule unité fermée de $ E'$ (déterminée par la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$) ci-dessous rappelée) est compacte POUR LA TOPOLOGIE FAIBLE * (théorème de Banach Alaoglu).
$ \bullet\ $la topologie forte sur le dual est la topologie engendrée par la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$ qui à $ f\in E'$ associe $ sup_{x\in S} {\parallel}f(x) {\parallel}$. La topologie forte est plus fine que la topologie faible, elle-même plus fine que la topologie faible *.
$ \bullet\ $Etant donné $ X$ un espace topologique, $ {\cal R}$ une relation d'équivalence sur $ X$, la topologie quotient est l'ensemble des parties $ Y$ de $ X/{\cal R}$ telles que $ p^{-1}(Y)$ soit un ouvert de $ X$, avec $ p$ la projection canonique de $ X$ sur $ X/{\cal R}$. Il faut savoir que $ p$ est continue et ouverte.
$ \bullet\ $La topologie induite par une famille applications de $ X$ dans d'autres espaces topologiques, est la topologie la moins fine qui rende toutes ces applications continues. Une application $ f$ à valeurs dans $ X$ muni de la topologie engendrée par la famille des $ f_i$ est continue si et seulement si sa composée avec chaque $ f_i$ est continue. Il faut noter que la topologie faible est la topologie engendrée par les applications linéaires continues.
$ \bullet\ $La topologie produit, définie sur un produit d'espaces topologiques, est la topologie engendrée par les projections canoniques sur chacun des espaces topologiques du produit. Une applications à valeurs dans le produit est alors continue si et seulement si chacune de ses projections canoniques est continue. Un produit est séparé si et seulement si chacun des facteurs l'est. Le théorème de Tykhonov affirme qu'un produit de compacts est compact.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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