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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Quelques convergences dans les espaces de fonctions

suivant: Théorèmes d'Ascoli et conséquences monter: Résultats fondamentaux précédent: Autres définitions et propriétés Index

Sous-sections

$\boxcircle$ Quelques rappels de topologie
Topologies dues aux mesures

Quelques convergences dans les espaces de fonctions

$\boxcircle$ Quelques rappels de topologie

Les résultats sont parfois donnés sans preuve; on se réfèrera à la partie

$\diamond$ Convergence simple

Définition [convergence simple] On dit qu'une suite

d'applications de

dans

avec

un espace topologique converge simplement vers

si pour tout

dans

tend vers

pour

tendant vers $+\infty$ .
Proposition [La convergence simple correspond-elle à une topologie ?] Soit l'espace

des applications de

dans

, avec

un espace topologique. La topologie produit sur

a pour suites convergentes les suites simplement convergentes

. C'est pourquoi on appelle cette topologie la topologie de la convergence simple.
Démonstration: $\bullet\$ Soit

une suite d'éléments de

, convergeant simplement vers une certaine fonction

. Montrons qu'elle converge aussi vers

pour la topologie produit.
Soit

un ouvert pour la topologie produit, contenant

. Alors (par définition) il existe

dans

voisinage de

tel que $\{g\in Y^X / \forall i \in [1,n], g(x_i) \in V_i\} \subset U$ . Il est alors clair qu'à partir d'un certain rang les

sont dans

.
$\bullet\$ Supposons maintenant que

est une suite d'éléments de

, convergeant vers une certaine fonction

pour la topologie produit. Donnons nous alors

dans

; et

un voisinage de

. Alors $V=\{ g \in Y^X / g(x) \in U \}$ est un voisinage de

dans

, donc

est dans

à partir d'un certain rang, donc $f_n(x) \in V$ à partir de ce même rang. Ceci montre que

tend vers

. $\sqcap$ $\sqcup$
Grâce à ce résultat on obtient facilement quelques propriétés, dues à la stabilité de certaines propriétés topologiques par passage au produit:
Corollaire [Caractéristiques de la topologie de la convergence simple] On considère la topologie de la convergence simple sur

.
$\bullet\$ si

est séparé

la topologie de la convergence simple est séparée
$\bullet\$ si

est compact

, alors la topologie de la convergence simple est compacte
$\bullet\$ si

est connexe

(resp. par arcs

), alors la topologie de la convergence simple est connexe (resp. par arcs).
Démonstration: Un produit de séparés est séparé, un produit de compacts est compact, un produit de connexes est connexe, un produit de connexes par arcs est connexe par arcs. $\sqcap$ $\sqcup$

$\diamond$ Convergence uniforme, convergence uniforme sur des parties

Définition On dit qu'une suite

d'applications de

dans

avec

un espace métrique converge uniformément vers

si pour tout $\epsilon$ positif il existe

tel que pour tout $n\geq N$ et tout

dans

$d(f(x),f_n(x)) < \epsilon$ .
Etant donnée ${\cal S}$ une partie de

, on dit que la suite

de fonctions de

dans

(avec

un espace métrique) est uniformément convergente sur les éléments de ${\cal S}$ si pour tout $L\in {\cal S}$ la suite $({f_n}_{\vert L})$ est uniformément convergente sur

.
Souvent,

sera un espace topologique localement compact et ${\cal S}$ sera l'ensemble des compacts de

.
Définition [Topologie de la convergence uniforme] Soit

un compact

un espace métrique. L'espace des applications continues

dans

, noté

est métrique avec la distance

$\displaystyle d(f,g)=sup_{x\in K} d(f(x),g(x))$

La topologie associée est dite topologie de la convergence uniforme.
Définition [Topologie de la convergence uniforme sur tout compact] Dans ce cas on peut définir la famille d'écarts $(N_{K})$ , pour

compact non vide de

, par:

$\displaystyle N_{K}(f,g)= \sup_{x\in K} d(f(x),g(x)) \in [0, \infty]$

Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes

sur les compacts de

. C'est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Si la famille $(K_i)_{i\in I}$ (

non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact

est inclus dans un certain

, alors la famille des $N_{K_i}$ suffit.
La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d'ouverts

les $N_{K}^{-1}(f,[0,\epsilon [)$ pour $\epsilon >0$ ,

compact non vide et

application de

dans

.
Proposition [Métrisabilité: topologie de convergence uniforme ] Si

est en fait un espace topologique compact, et si on se limite à l'ensemble

des applications continues de

dans

alors l'application

est une distance et définit une topologie (sur

) pour laquelle les suites convergentes sont les suites uniformément convergentes au sens de la définition

.
Proposition [La topologie de la convergence uniforme sur tout compact est-elle métrisable

?] On suppose

localement compact

, réunion dénombrable de compacts

, $K_m \subset K_{m+1}$ ,

métrique; alors la topologie engendrée par la distance

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k} \frac{N_{K_k}(f,g)}{1+N_{K_k}(f,g)}$

admet pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur tout compact au sens de la définition

.
Exemple: Soit $x \in K$ . Montrer que la fonction qui à $f \in C^0(K,F)$ associe

est continue pour la topologie de la convergence uniforme (resp. de la convergence uniforme sur tout compact).

$\diamond$ Comparatif entre toutes ces notions de convergence

Proposition Supposons que

est un espace topologique localement compact

, et

un espace métrique.

Convergence pour la topologie de la convergence uniforme

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence pour la topologie de la convergence simple

Topologies dues aux mesures

$(X,\mu)$ étant un espace mesuré

, les espaces de fonctions ${\cal L}^p(X)$ et

ont été définis et étudiés en partie

.
Rappelons juste que

désigne l'ensemble des classes d'équivalences de l'ensemble des applications de

dans $\mathbb{R}$ pour la relation d'équivalence "être égales presque partout" qui contiennent au moins un élément dans ${\cal L}^p(X)$ .
Rappelons aussi que

, si

est réunion d'une suite croissante (pour l'inclusion) de compacts de mesure finie, pour $1\leq p<\infty$ , est le complété pour la norme ${\parallel}. {\parallel}_p=f\mapsto \sqrt[p]{\int_X \vert f\vert^p}$ de l'ensemble des fonctions continues à support compact (le résultat n'est pas valable pour $p=\infty$ ; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications continues qui, pour tout $\epsilon >0$ , sont inférieures à $\epsilon$ ^1.1 en dehors d'un certain compact $K_\epsilon$ ).
On définit en outre deux autres notions de convergence, liées à la notion de mesure: la convergence en mesure et la convergence presque partout.
Définition Soit

une suite de fonctions de

dans

, avec

un espace mesuré

, et

un espace topologique.
On dit que

converge presque partout vers

s'il existe

négligeable

inclus dans

tel que

converge simplement vers

sur le complémentaire de

.
Soit

une suite de fonctions de

dans $\mathbb{C}$ avec

un espace mesuré.
On dit que

converge en mesure vers si pour tout $\epsilon$ la limite pour $n\to\infty$ de la mesure de $\{x / \vert f_n(x)-f(x)\vert>\epsilon \}$ est nulle.
On a alors les résultats suivants entre nos différentes notions de convergence des

vers

(lorsque toutes sont définies):
Notez bien que $p<\infty$ .

Convergence uniforme

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence uniforme sur tout compact

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence simple

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence presque partout

$\displaystyle \Downarrow$ si les

sont majorées en module par une fonction

appartenant à

Convergence dans

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence en mesure

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence presque partout d'une suite extraite et Convergence presque partout et

de mesure finie $\Rightarrow$ convergence en mesure

Ci-dessous une liste de contre-exemples, pour bien se mettre en tête qu'il ne faut pas confondre convergences et convergences:
$\bullet\$ convergence uniforme sur tout compact n'implique par convergence uniforme En effet, sur $[0,+\infty[$ la suite

définie par

$\displaystyle f_n(x)=1$ si $\displaystyle x<n$

$\displaystyle f_n(x)=0$ sinon

converge uniformément sur tout compact vers la fonction constante égale à

, mais ne converge pas uniformément vers cette fonction.
$\bullet\$ converge simple n'implique pas convergence uniforme sur tout compact Il suffit de prendre

sur

converge clairement vers 0 pour

et vers

pour

. La convergence n'est pas uniforme car le

de $\vert f_n-f\vert$ reste égal à

; elle n'est pas non plus uniforme sur tout compact car

étant compact on aurait alors convergence uniforme.
$\bullet\$ convergence presque partout n'implique pas convergence simple. Evident:

pour tout

.
$\bullet\$ Convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans

si les

ne sont pas majorées en module par une fonction de

. Par exemple, sur $\mathbb{R}$ ,

si $x\in ]0,1/n[$ ,

sinon (on pourrait aussi avoir ce résultat avec des fonctions continues, en considérant des fonctions affines par morceaux...).
$\bullet\$ Convergence dans

n'implique pas convergence presque partout. On considère

si il existe $u\in \mathbb{N}$ tel que

est compris au sens large entre $\sum_{k=0}^n 1/k$ et $\sum_{k=0}^{n+1} 1/k$ , 0 sinon.
$\bullet\$ Convergence en mesure n'implique pas convergence dans

Même contre-exemple que pour "convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans

si les

ne sont pas majorées en module par une fonction de

".
$\bullet\$ Convergence presque partout n'implique pas convergence en mesure si la mesure de

n'est pas finie Facile; sur $\mathbb{R}$ , l'application

qui à

associe