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Sous-sections

Quelques convergences dans les espaces de fonctions

$ \boxcircle$ Quelques rappels de topologie

Les résultats sont parfois donnés sans preuve; on se réfèrera à la partie [*].

$ \diamond$ Convergence simple

Définition [convergence simple] On dit qu'une suite $ f_n$ d'applications de $ X$ dans $ Y$ avec $ Y$ un espace topologique converge simplement vers $ f$ si pour tout $ x$ dans $ X$ $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$ pour $ n$ tendant vers $ +\infty$.
Proposition [La convergence simple correspond-elle à une topologie ?] Soit l'espace $ Y^X$ des applications de $ Y$ dans $ X$, avec $ Y$ un espace topologique. La topologie produit sur $ Y^X$ a pour suites convergentes les suites simplement convergentes. C'est pourquoi on appelle cette topologie la topologie de la convergence simple.
Démonstration: $ \bullet\ $Soit $ f_n$ une suite d'éléments de $ Y^X$, convergeant simplement vers une certaine fonction $ f$. Montrons qu'elle converge aussi vers $ f$ pour la topologie produit.
Soit $ U$ un ouvert pour la topologie produit, contenant $ f$ . Alors (par définition) il existe $ x_1,...,x_n$ dans $ X$ et $ V_i$ voisinage de $ f(x_i)$ tel que $ \{g\in Y^X / \forall i \in [1,n], g(x_i) \in V_i\} \subset U$. Il est alors clair qu'à partir d'un certain rang les $ f_n$ sont dans $ U$.
$ \bullet\ $Supposons maintenant que $ f_n$ est une suite d'éléments de $ Y^X$, convergeant vers une certaine fonction $ f$ pour la topologie produit. Donnons nous alors $ x$ dans $ X$; et $ U$ un voisinage de $ f(x)$. Alors $ V=\{ g \in Y^X / g(x) \in U \}$ est un voisinage de $ f$ dans $ Y^X$, donc $ f_n$ est dans $ V$ à partir d'un certain rang, donc $ f_n(x) \in V$ à partir de ce même rang. Ceci montre que $ f_n(x)$ tend vers $ f(x)$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Grâce à ce résultat on obtient facilement quelques propriétés, dues à la stabilité de certaines propriétés topologiques par passage au produit:
Corollaire [Caractéristiques de la topologie de la convergence simple] On considère la topologie de la convergence simple sur $ Y^X$.
$ \bullet\ $si $ Y$ est séparé la topologie de la convergence simple est séparée
$ \bullet\ $si $ Y$ est compact, alors la topologie de la convergence simple est compacte
$ \bullet\ $si $ Y$ est connexe (resp. par arcs), alors la topologie de la convergence simple est connexe (resp. par arcs).
Démonstration: Un produit de séparés est séparé, un produit de compacts est compact, un produit de connexes est connexe, un produit de connexes par arcs est connexe par arcs.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \diamond$ Convergence uniforme, convergence uniforme sur des parties

Définition On dit qu'une suite $ f_n$ d'applications de $ X$ dans $ Y$ avec $ Y$ un espace métrique converge uniformément vers $ f$ si pour tout $ \epsilon $ positif il existe $ N$ tel que pour tout $ n\geq N$ et tout $ x$ dans $ X$ $ d(f(x),f_n(x)) < \epsilon $.
Etant donnée $ {\cal S}$ une partie de $ P(X)$, on dit que la suite $ (f_n)$ de fonctions de $ X$ dans $ Y$ (avec $ Y$ un espace métrique) est uniformément convergente sur les éléments de $ {\cal S}$ si pour tout $ L\in {\cal S}$ la suite $ ({f_n}_{\vert L})$ est uniformément convergente sur $ L$.
Souvent, $ X$ sera un espace topologique localement compact et $ {\cal S}$ sera l'ensemble des compacts de $ X$.
Définition [Topologie de la convergence uniforme] Soit $ K$ un compact et $ F$ un espace métrique. L'espace des applications continues de $ K$ dans $ F$, noté $ C^0(K,F)$ est métrique avec la distance

$\displaystyle d(f,g)=sup_{x\in K} d(f(x),g(x))$

La topologie associée est dite topologie de la convergence uniforme.
Définition [Topologie de la convergence uniforme sur tout compact] Dans ce cas on peut définir la famille d'écarts $ (N_{K})$, pour $ K$ compact non vide de $ X$, par:

$\displaystyle N_{K}(f,g)= \sup_{x\in K} d(f(x),g(x)) \in [0, \infty]$

Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur les compacts de $ X$. C'est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Si la famille $ (K_i)_{i\in I}$ ($ I$ non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact $ K$ de $ X$ est inclus dans un certain $ K_i$, alors la famille des $ N_{K_i}$ suffit.
La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d'ouverts les $ N_{K}^{-1}(f,[0,\epsilon [)$ pour $ \epsilon >0$, $ K$ compact non vide et $ f$ application de $ X$ dans $ Y$.
Proposition [Métrisabilité: topologie de convergence uniforme ] Si $ X$ est en fait un espace topologique compact, et si on se limite à l'ensemble $ C^0(X,Y)$ des applications continues de $ X$ dans $ Y$ alors l'application $ d(f,g)=sup_X d(f(x),g(x))$ est une distance et définit une topologie (sur $ C^0(X,Y)$) pour laquelle les suites convergentes sont les suites uniformément convergentes au sens de la définition [*].
Proposition [La topologie de la convergence uniforme sur tout compact est-elle métrisable ?] On suppose $ X$ localement compact, réunion dénombrable de compacts $ K_n$, $ K_m \subset K_{m+1}$, $ Y$ métrique; alors la topologie engendrée par la distance

$\displaystyle d(f,g)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k} \frac{N_{K_k}(f,g)}{1+N_{K_k}(f,g)}$

admet pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur tout compact au sens de la définition [*].
Exemple: Soit $ x \in K$. Montrer que la fonction qui à $ f \in C^0(K,F)$ associe $ f(x)$ est continue pour la topologie de la convergence uniforme (resp. de la convergence uniforme sur tout compact).

$ \diamond$ Comparatif entre toutes ces notions de convergence

Proposition Supposons que $ X$ est un espace topologique localement compact, et $ Y$ un espace métrique.
Convergence pour la topologie de la convergence uniforme

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence pour la topologie de la convergence simple

Topologies dues aux mesures

$ (X,\mu)$ étant un espace mesuré, les espaces de fonctions $ {\cal L}^p(X)$ et $ L^p(X)$ ont été définis et étudiés en partie [*].
Rappelons juste que $ L^p(X)$ désigne l'ensemble des classes d'équivalences de l'ensemble des applications de $ X$ dans $ \mathbb{R}$ pour la relation d'équivalence "être égales presque partout" qui contiennent au moins un élément dans $ {\cal L}^p(X)$.
Rappelons aussi que $ L^p(X)$, si $ X$ est réunion d'une suite croissante (pour l'inclusion) de compacts de mesure finie, pour $ 1\leq p<\infty$, est le complété pour la norme $ {\parallel}. {\parallel}_p=f\mapsto \sqrt[p]{\int_X \vert f\vert^p}$ de l'ensemble des fonctions continues à support compact (le résultat n'est pas valable pour $ p=\infty$; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications continues qui, pour tout $ \epsilon >0$, sont inférieures à $ \epsilon $1.1 en dehors d'un certain compact $ K_\epsilon $).
On définit en outre deux autres notions de convergence, liées à la notion de mesure: la convergence en mesure et la convergence presque partout.
Définition Soit $ f_n$ une suite de fonctions de $ X$ dans $ Y$, avec $ X$ un espace mesuré, et $ Y$ un espace topologique.
On dit que $ f_n$ converge presque partout vers $ f$ s'il existe $ N$ négligeable inclus dans $ X$ tel que $ f_n$ converge simplement vers $ f$ sur le complémentaire de $ N$.
Soit $ f_n$ une suite de fonctions de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ avec $ X$ un espace mesuré.
On dit que $ f_n$ converge en mesure vers $ f$ si pour tout $ \epsilon $ la limite pour $ n\to\infty$ de la mesure de $ \{x / \vert f_n(x)-f(x)\vert>\epsilon \}$ est nulle.
On a alors les résultats suivants entre nos différentes notions de convergence des $ f_n$ vers $ f$ (lorsque toutes sont définies):
Notez bien que $ p<\infty$.
Convergence uniforme

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence uniforme sur tout compact

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence simple

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence presque partout

$\displaystyle \Downarrow$   si les $ f_n$ sont majorées en module par une fonction $ g$ appartenant à $ L^p$

Convergence dans $ L^p$

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence en mesure

$\displaystyle \Downarrow$

Convergence presque partout d'une suite extraite et Convergence presque partout et $ X$ de mesure finie $ \Rightarrow$ convergence en mesure
Ci-dessous une liste de contre-exemples, pour bien se mettre en tête qu'il ne faut pas confondre convergences et convergences:
$ \bullet\ $convergence uniforme sur tout compact n'implique par convergence uniforme En effet, sur $ [0,+\infty[$ la suite $ f_n$ définie par

$\displaystyle f_n(x)=1$    si $\displaystyle x<n$

$\displaystyle f_n(x)=0$    sinon

converge uniformément sur tout compact vers la fonction constante égale à $ 1$, mais ne converge pas uniformément vers cette fonction.
$ \bullet\ $converge simple n'implique pas convergence uniforme sur tout compact Il suffit de prendre $ f_n(x)=max(1-nx,0)$ sur $ [0,1]$. $ f_n(x)$ converge clairement vers 0 pour $ x>0$ et vers $ 1$ pour $ x=0$. La convergence n'est pas uniforme car le $ sup$ de $ \vert f_n-f\vert$ reste égal à $ 1$; elle n'est pas non plus uniforme sur tout compact car $ [0,1]$ étant compact on aurait alors convergence uniforme.
$ \bullet\ $convergence presque partout n'implique pas convergence simple. Evident: $ f_n(x)=1$ pour tout $ x$ de $ [0,1]$, $ f(x)=1$ pour tout $ x$ de $ [0,1[$ et $ f(1)=0$.
$ \bullet\ $Convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans $ L^p$ si les $ f_n$ ne sont pas majorées en module par une fonction de $ L^p$. Par exemple, sur $ \mathbb{R}$, $ f_n(x)=n$ si $ x\in ]0,1/n[$, $ f_n(x)=0$ sinon (on pourrait aussi avoir ce résultat avec des fonctions continues, en considérant des fonctions affines par morceaux...).
$ \bullet\ $Convergence dans $ L^p$ n'implique pas convergence presque partout. On considère $ f_n(x)=1$ si il existe $ u\in \mathbb{N}$ tel que $ x+u$ est compris au sens large entre $ \sum_{k=0}^n 1/k$ et $ \sum_{k=0}^{n+1} 1/k$, 0 sinon.
$ \bullet\ $Convergence en mesure n'implique pas convergence dans $ L^p$ Même contre-exemple que pour "convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans $ L^p$ si les $ f_n$ ne sont pas majorées en module par une fonction de $ L^p$".
$ \bullet\ $Convergence presque partout n'implique pas convergence en mesure si la mesure de $ X$ n'est pas finie Facile; sur $ \mathbb{R}$, l'application $ f_n$ qui à $ x$ associe $ sin(x/n)$.

Notes

...$ \epsilon $1.1
En module!
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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