Définition [convergence simple]
On dit qu'une suite d'applications de dans avec un espace topologique converge simplement vers si pour tout dans tend vers pour tendant vers .
Proposition [La convergence simple correspond-elle à une topologie ?]
Soit l'espace des applications de dans , avec un espace topologique. La topologie produit sur a pour suites convergentes les suites simplement convergentes. C'est pourquoi on appelle cette topologie la topologie de la convergence simple.
Démonstration:Soit une suite d'éléments de , convergeant simplement vers une certaine fonction . Montrons qu'elle converge aussi vers pour la topologie produit.
Soit un ouvert pour la topologie produit, contenant . Alors (par définition) il existe
dans et voisinage de tel que
.
Il est alors clair qu'à partir d'un certain rang les sont dans .
Supposons maintenant que est une suite d'éléments de , convergeant vers une certaine fonction pour la topologie produit. Donnons nous alors dans ; et un voisinage de . Alors
est un voisinage de dans , donc est dans à partir d'un certain rang, donc
à partir de ce même rang. Ceci montre que tend vers .
Grâce à ce résultat on obtient facilement quelques propriétés, dues à la stabilité de certaines propriétés topologiques par passage au produit:
Corollaire [Caractéristiques de la topologie de la convergence simple]
On considère la topologie de la convergence simple sur .
si est séparé la topologie de la convergence simple est séparée
si est compact, alors la topologie de la convergence simple est compacte
si est connexe (resp. par arcs), alors la topologie de la convergence simple est connexe (resp. par arcs).
Démonstration:Un produit de séparés est séparé, un produit de compacts est compact, un produit de connexes est connexe, un produit de connexes par arcs est connexe par arcs.
Définition
On dit qu'une suite d'applications de dans avec un espace métrique converge uniformément vers si pour tout positif il existe tel que pour tout et tout dans .
Etant donnée une partie de , on dit que la suite de fonctions de dans (avec un espace métrique) est uniformément convergente sur les éléments de si pour tout
la suite
est uniformément convergente sur .
Souvent, sera un espace topologique localement compact et sera l'ensemble des compacts de .
Définition [Topologie de la convergence uniforme]
Soit un compact et un espace métrique. L'espace des applications continues de dans , noté est métrique avec la distance
La topologie associée est dite topologie de la convergence uniforme.
Définition [Topologie de la convergence uniforme sur tout compact]
Dans ce cas on peut définir la famille d'écarts , pour compact non vide de , par:
Et la topologie engendrée par ces écarts a pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur les compacts de . C'est pourquoi on appelle la topologie engendrée par ces applications topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Si la famille
( non nécessairement dénombrable!) est telle que tout compact de est inclus dans un certain , alors la famille des suffit.
La topologie de la convergence uniforme sur tout compact a donc pour base d'ouverts les
pour
, compact non vide et application de dans .
Proposition [Métrisabilité: topologie de convergence uniforme ]
Si est en fait un espace topologique compact, et si on se limite à l'ensemble des applications continues de dans alors l'application
est une distance et définit une topologie (sur ) pour laquelle les suites convergentes sont les suites uniformément convergentes au sens de la définition .
Proposition [La topologie de la convergence uniforme sur tout compact est-elle métrisable ?]
On suppose localement compact, réunion dénombrable de compacts ,
, métrique; alors la topologie engendrée par la distance
admet pour suites convergentes les suites uniformément convergentes sur tout compact au sens de la définition .
Exemple: Soit . Montrer que la fonction qui à
associe est continue pour la topologie de la convergence uniforme (resp. de la convergence uniforme sur tout compact).
étant un espace mesuré, les espaces de fonctions
et ont été définis et étudiés en partie .
Rappelons juste que désigne l'ensemble des classes d'équivalences de l'ensemble des applications de dans
pour la relation d'équivalence "être égales presque partout" qui contiennent au moins un élément dans
.
Rappelons aussi que , si est réunion d'une suite croissante (pour l'inclusion) de compacts de mesure finie, pour
, est le complété pour la norme
de l'ensemble des fonctions continues à support compact (le résultat n'est pas valable pour ; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications continues qui, pour tout
, sont inférieures à 1.1 en dehors d'un certain compact
).
On définit en outre deux autres notions de convergence, liées à la notion de mesure: la convergence en mesure et la convergence presque partout.
Définition
Soit une suite de fonctions de dans , avec un espace mesuré, et un espace topologique.
On dit que converge presque partout vers s'il existe négligeable inclus dans tel que converge simplement vers sur le complémentaire de .
Soit une suite de fonctions de dans
avec un espace mesuré.
On dit que converge en mesure vers si pour tout la limite pour
de la mesure de
est nulle.
On a alors les résultats suivants entre nos différentes notions de convergence des vers (lorsque toutes sont définies):
Notez bien que .
Convergence uniforme
Convergence uniforme sur tout compact
Convergence simple
Convergence presque partout
si les sont majorées en module par une fonction appartenant à
Convergence dans
Convergence en mesure
Convergence presque partout d'une suite extraite
et
Convergence presque partout et de mesure finie
convergence en mesure
Ci-dessous une liste de contre-exemples, pour bien se mettre en tête qu'il
ne faut pas confondre convergences et convergences:
convergence uniforme sur tout compact n'implique par convergence uniforme
En effet, sur
la suite définie par
si
sinon
converge uniformément sur tout compact vers la fonction constante égale à ,
mais ne converge pas uniformément vers cette fonction.
converge simple n'implique pas convergence uniforme sur tout compact
Il suffit de prendre
sur . converge clairement vers 0 pour et vers pour . La convergence n'est pas uniforme car le de reste égal à ; elle n'est pas non plus uniforme sur tout compact car étant compact on aurait alors convergence uniforme.
convergence presque partout n'implique pas convergence simple.
Evident: pour tout de , pour tout de et .
Convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans si les ne sont pas majorées en module par une fonction de .
Par exemple, sur
, si
, sinon (on pourrait aussi avoir ce résultat avec des fonctions continues, en considérant des fonctions affines par morceaux...).
Convergence dans n'implique pas convergence presque partout.
On considère si il existe
tel que est compris au sens large entre
et
, 0 sinon.
Convergence en mesure n'implique pas convergence dans
Même contre-exemple que pour "convergence presque partout et même convergence simple n'impliquent pas convergence dans si les ne sont pas majorées en module par une fonction de ".
Convergence presque partout n'implique pas convergence en mesure si la mesure de n'est pas finie
Facile; sur
, l'application qui à associe .