Définition [Equicontinuité]
Soit une famille d'applications
où est un espace topologique et un espace métrique. On dit que est équicontinue si, pour tout
et tout il existe un voisinage de dans tel que
pour tout et tout .
Si est aussi métrique, est dite uniformément équicontinue si pour tout
il existe tel que pour tous vérifiant
et tout
, on ait
.
On a un équivalent du théorème de Heine pour les familles équicontinues sur un espace compact.
Théorème
Si est métrique compact et si est métrique, si est une famille d'applications équicontinues de dans , alors la famille est uniformément équicontinue.
Démonstration:On considère le rayon d'une boule inclus dans le correspondant à un donné; on recouvre l'espace avec ces boules, on en extrait un recouvrement fini, puis on prend le min des , et on a le résultat. Théorème [Théorème d'Ascoli]Soit un espace métrique1.2, et un espace topologique; soit une famille équicontinue en de fonctions de dans .
Alors
1.3 est équicontinue en .
Si est équicontinue en tout point, alors
est équicontinue en tout point.
Avec une partie dense de , la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, la topologie induite par la convergence simple sur 1.4, induisent la même topologie sur .
Démonstration:(on prouve les deux premiers en un seul coup) On se donne
. On a donc un certain voisinage de tel que pour tout dans et tout
. On cherche à montrer que cela est en fait vrai pour tout
. On se donne une telle fonction , et un certain dans .
On définit alors l'ensemble des applications de dans telles que
est un voisinage de pour la topologie simple, donc il doit intersecter ; soit dans l'intersection obtenue. Il suffit alors d'écrire
Il est clair que la topologie de la convergence simple sur est moins fine que le topologie de la convergence simple elle-même moins fine que la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (rappelons qu'un singleton, comme tout ensemble fini séparé, est compact). Le seul problème est la réciproque. On se donne donc un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, dans , et on cherche à montrer que contient un voisinage pour la topologie de la convergence simple sur de .
étant ouvert en pour la topologie forte, il existe un compact et un réel tels que
soit inclus dans .
ouvert en
Alors par la propriété de Borel-Lebesgue, il existe un sous-ensemble fini de tel que
. Les étant ouverts non vides et étant dense dans , on choisit pour
un point
.
Considérons alors
et
Donc , donc
et donc est un voisinage de pour la topologie de la convergence simple sur . D'où le résultat. Théorème [Théorème d'Arzéla-Ascoli]
Une partie incluse dans est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si on a les deux conditions suivantes:
La famille est équicontinue Pour tout l'ensemble des pour
est relativement compact
Voir simplement la partie applications, ci-dessous; mais aussi le théorème.
Démonstration:Tout d'abord supposons que notre famille est relativement compacte
dans . Pour tout l'évaluation
est continue; donc l'image
est compacte, or il contient
; donc l'adhérence de ce dernier ensemble est un fermé d'un compact, et est donc compacte, d'où le second point. Par ailleurs, comme est relativement compacte, avec
, on peut trouver
tels que pour tout
,
; la famille des étant équicontinue (comme toute famille finie), pour donné, il existe un voisinage de tel que
pour tout . Comme
, on voit que, pour tout on a
.
Réciproquement (voir figure ), supposons les deux conditions données remplies, et montrons que la famille est relativement compacte. Pour cela on considère comme un sous-ensemble de muni de la topologie produit, cette inclusion induisant sur la topologie de la convergence simple. Posons
.
Par la seconde condition (qui n'intervient qu'ici), est compact. Comme est inclus dans le produit des ,
est compact dans . Il faut alors montrer que
est inclus dans , et que la topologie produit sur
et la topologie de la distance sont les mêmes, ce qui finira la preuve.
Figure:
Illustration de la preuve du théorème d'Arzéla-Ascoli. L'adhérence de la famille considérée est un fermé d'un produit de compacts, donc est un compact; il reste à vérifier que l'adhérence est bien incluse dans , et que la topologie produit induit bien la topologie de la distance uniforme.
Lemme
Si est équicontinue alors
(adhérence pour la topologie produit).
Démonstration:
Le théorème d'Ascoli (2ème point) implique que la famille
est équicontinue, ce qui implique
clairement le résultat. Lemme
La topologie induite par la topologie produit sur
et la topologie de la distance ( = topologie
de la convergence uniforme) sont les mêmes.
Démonstration:Chaque fonction (évaluation en ) étant continue, tout ouvert de
est un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme.
Il reste à voir que tout voisinage de appartenant à
dans
pour la métrique, contient un voisinage de dans
muni de la topologie produit. Soit
, et considérons
(qui décrit une base de voisinages de
pour la métrique). Pour tout , on obtient par la condition un voisinage ouvert de dans tel que si on ait
pour tout
. Par compacité de on peut trouver ,... tels que
. Considérons alors
; c'est un voisinage de pour la topologie produit. Si
et soit tel que
, on a alors
donc
pour tout . Par conséquent le voisinage
de pour la topologie de la convergence uniforme contient qui est un voisinage de pour la topologie produit. En résumé pour cette preuve, un sens est trivial, et l'autre sens se prouve en utilisant une boule pour la distance, et en appliquant à la fois l'équicontinuité de et la compacité de .
Ces deux preuves achèvent donc le théorème d'Arzéla-Ascoli. En résumé il faut donc, pour le sens difficile:
Utiliser la condition sur les parties relativement compactes de pour conclure à la relative compacité de dans l'espace produit
Utiliser l'équicontinuité pour montrer que
Utiliser l'équicontinuité de et la compacité de pour montrer que les deux topologies sont égales.