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Théorie

Définition [Equicontinuité] Soit $ {\cal F}$ une famille d'applications $ X \rightarrow Y$$ X$ est un espace topologique et $ Y$ un espace métrique. On dit que $ {\cal F}$ est équicontinue si, pour tout $ \epsilon >0$ et tout $ x\in X$ il existe un voisinage $ V_x$ de $ x$ dans $ X$ tel que $ d(f(x),f(y))<\epsilon$ pour tout $ f\in F$ et tout $ y \in V_x$.
Si $ X$ est aussi métrique, $ {\cal F}$ est dite uniformément équicontinue si pour tout $ \epsilon >0$ il existe $ \alpha >0$ tel que pour tous $ x,y$ vérifiant $ d(x,y)<\alpha $ et tout $ f \in {\cal F}$, on ait $ d(f(x),f(y))<\epsilon$.

\begin{eg}Une famille finie est toujours équicontinue.
\end{eg}
On a un équivalent du théorème de Heine pour les familles équicontinues sur un espace compact.
Théorème Si $ X$ est métrique compact et si $ Y$ est métrique, si $ {\cal F}$ est une famille d'applications équicontinues de $ X$ dans $ Y$, alors la famille $ {\cal F}$ est uniformément équicontinue.
Démonstration: On considère $ \alpha_x$ le rayon d'une boule inclus dans le $ V_x$ correspondant à un $ \epsilon $ donné; on recouvre l'espace avec ces boules, on en extrait un recouvrement fini, puis on prend le min des $ \alpha_x$, et on a le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Théorème d'Ascoli] $ \bullet\ $Soit $ F$ un espace métrique1.2, et $ E$ un espace topologique; soit $ {\cal F}$ une famille équicontinue en $ e\in E$ de fonctions de $ E$ dans $ F$.
Alors $ \overline {\cal F}$1.3 est équicontinue en $ e$.
$ \bullet\ $Si $ {\cal F}$ est équicontinue en tout point, alors $ \overline {\cal F}$ est équicontinue en tout point.
$ \bullet\ $Avec $ {\cal E}$ une partie dense de $ E$, la topologie de la convergence simple, la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, la topologie induite par la convergence simple sur $ {\cal E}$1.4, induisent la même topologie sur $ {\cal F}$.

Démonstration: $ \bullet\ $$ \bullet\ $(on prouve les deux premiers $ \bullet\ $en un seul coup) On se donne $ \epsilon >0$. On a donc un certain $ U$ voisinage de $ e$ tel que pour tout $ x$ dans $ U$ et tout $ f \in {\cal F}$ $ d(f(x),f(e))<\epsilon $. On cherche à montrer que cela est en fait vrai pour tout $ f\in \overline {\cal F}$. On se donne une telle fonction $ f$, et un certain $ x$ dans $ U$. On définit alors $ V_x$ l'ensemble des applications $ g$ de $ E$ dans $ F$ telles que

$\displaystyle d(g(x),f(x))<\epsilon \;{\text et }\; d(g(a),f(a))<\epsilon .$

$ V_x$ est un voisinage de $ f$ pour la topologie simple, donc il doit intersecter $ {\cal F}$; soit $ g$ dans l'intersection obtenue. Il suffit alors d'écrire

$\displaystyle d(g(x),g(a))\leq d(g(x),f(x))+d(f(x),f(a))+d(f(a),g(a)) \leq 3\epsilon $

$ \bullet\ $Il est clair que la topologie de la convergence simple sur $ {\cal E}$ est moins fine que le topologie de la convergence simple elle-même moins fine que la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (rappelons qu'un singleton, comme tout ensemble fini séparé, est compact). Le seul problème est la réciproque. On se donne donc $ U$ un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, $ f$ dans $ U$, et on cherche à montrer que $ U$ contient un voisinage pour la topologie de la convergence simple sur $ {\cal E}$ de $ f$.
$ U$ étant ouvert en $ f$ pour la topologie forte, il existe un compact $ K$ et un réel $ >0$ $ \epsilon $ tels que

$\displaystyle \{g\in {\cal F}/ \forall y \in K d(f(y),g(y)) < \epsilon \}$

soit inclus dans $ U$.

$\displaystyle \forall x \exists U_x$    ouvert en $ x$$\displaystyle / \forall g \in {\cal F}\forall y \in U_x d(g(x),g(y)) < \epsilon /5 $

Alors par la propriété de Borel-Lebesgue, il existe un sous-ensemble $ I$ fini de $ K$ tel que $ K \subset \cup_{x\in I} U_x$. Les $ U_x$ étant ouverts non vides et $ {\cal E}$ étant dense dans $ E$, on choisit pour $ x\in I$ un point $ y_x\in {\cal E}$.
Considérons alors $ W=\{ g \in {\cal F}/ \forall x \in I\ d(g(y_x),f(y_x)) < \epsilon /5\}$

$\displaystyle \forall z \in K\ \exists x\in I /z\in U_x$

et

$\displaystyle d(g(z),f(z)) \leq $

$\displaystyle d(g(z),g(x)) + d(g(x),g(y_x))+d(g(y_x),f(y_x)) + d(f(y_x),f(x))+d(f(x),f(z))\leq \epsilon $

Donc $ g\in U$, donc $ W \subset U$ et donc $ U$ est un voisinage de $ f$ pour la topologie de la convergence simple sur $ {\cal E}$. D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Théorème d'Arzéla-Ascoli] Une partie $ {\cal F}$ incluse dans $ C^0(K,F)$ est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme si et seulement si on a les deux conditions suivantes:
$ \bullet\ $La famille $ {\cal F}$ est équicontinue
$ \bullet\ $Pour tout $ x \in K$ l'ensemble des $ f(x)$ pour $ f \in {\cal F}$ est relativement compact

Application(s)... Voir simplement la partie applications, ci-dessous; mais aussi le théorème [*].
Démonstration: Tout d'abord supposons que notre famille $ {\cal F}$ est relativement compacte dans $ C^0(K,F)$. Pour tout $ x$ l'évaluation $ \hat x: C^0(K,F) \rightarrow F$ est continue; donc l'image $ \hat x(\overline {\cal F})$ est compacte, or il contient $ \{f(x)\vert f \in {\cal F}\}$; donc l'adhérence de ce dernier ensemble est un fermé d'un compact, et est donc compacte, d'où le second point. Par ailleurs, comme $ {\cal F}$ est relativement compacte, avec $ \epsilon >0$, on peut trouver $ f_1,...,f_n \in {\cal F}$ tels que pour tout $ f \in {\cal F}$, $ d(f_i,f)<\epsilon$; la famille des $ f_i$ étant équicontinue (comme toute famille finie), pour $ x \in K$ donné, il existe un voisinage $ V_x$ de $ x$ tel que $ d(f_i(x),f_i(y))<\epsilon$ pour tout $ y \in V_x$. Comme $ d(f(x),f(y))\leq d(f_i(x),f_i(y))+2.d(f_i,f)$, on voit que, pour tout $ y \in V_x$ on a $ d(f(x),f(y))\leq 3.\epsilon$.
Réciproquement (voir figure [*]), supposons les deux conditions données remplies, et montrons que la famille $ {\cal F}$ est relativement compacte. Pour cela on considère $ C_0(K,F)$ comme un sous-ensemble de $ F^K$ muni de la topologie produit, cette inclusion induisant sur $ C_0(K,F)$ la topologie de la convergence simple. Posons $ C_x=\overline{\{f(x)\vert f\in {\cal F}\}}$.
Par la seconde condition (qui n'intervient qu'ici), $ C_x$ est compact. Comme $ {\cal F}$ est inclus dans le produit des $ C_x$, $ \overline {\cal F}$ est compact dans $ F^K$. Il faut alors montrer que $ \overline {\cal F}$ est inclus dans $ C^0(K,F)$, et que la topologie produit sur $ \overline {\cal F}$ et la topologie de la distance sont les mêmes, ce qui finira la preuve.

Figure: Illustration de la preuve du théorème d'Arzéla-Ascoli. L'adhérence de la famille considérée est un fermé d'un produit de compacts, donc est un compact; il reste à vérifier que l'adhérence est bien incluse dans $ C^0(K,F)$, et que la topologie produit induit bien la topologie de la distance uniforme.
\begin{figure}
\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{arz.eps}
\end{displaymath}
\end{figure}


Lemme Si $ {\cal F}$ est équicontinue alors $ \overline {\cal F}\subset C^0(K,F)$ (adhérence pour la topologie produit).
Démonstration: Le théorème d'Ascoli (2ème point) implique que la famille $ \overline F$ est équicontinue, ce qui implique clairement le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$
Lemme La topologie induite par la topologie produit sur $ \overline {\cal F}$ et la topologie de la distance ( = topologie de la convergence uniforme) sont les mêmes.
Démonstration: Chaque fonction $ \hat x$ (évaluation en $ x$) étant continue, tout ouvert de $ \overline {\cal F}$ est un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme.
Il reste à voir que tout voisinage de $ f_0$ appartenant à $ \overline {\cal F}$ dans $ \overline {\cal F}$ pour la métrique, contient un voisinage de $ f_0$ dans $ \overline {\cal F}$ muni de la topologie produit. Soit $ \epsilon >0$, et considérons $ \{g \in \overline {\cal F}\vert max\ d(g(x),f_0(x)) \leq \epsilon \}$ (qui décrit une base de voisinages de $ \overline {\cal F}$ pour la métrique). Pour tout $ x$, on obtient par la condition $ 1$ un voisinage ouvert de $ x$ dans $ K$ tel que si $ y \in V_x$ on ait $ d(h(x),h(y)) < \epsilon / 3$ pour tout $ h \in \overline {\cal F}$. Par compacité de $ K$ on peut trouver $ x_1$,...$ x_n$ tels que $ K= \cup_{i=1}^n V_{x_i}$. Considérons alors $ {\cal V}= \{g \in \overline {\cal F}\vert d(g(x_i),f_0(x_i))<\epsilon /3\}$; c'est un voisinage de $ f_0$ pour la topologie produit. Si $ g \in {\cal V}$ et $ x \in K$ soit $ x_{i_0}$ tel que $ x \in V_{x_{i_0}}$, on a alors

$\displaystyle d(g(x),f_0(x)) \leq d(g(x),g(x_{i_0})) + d(g(x_{i_0}),f_0(x_{i_0})) + d(f_0(x_{i_0}),f_0(x)) < \epsilon $

donc $ d(g(x),f_0(x)) \leq \epsilon $ pour tout $ x \in K$. Par conséquent le voisinage

$\displaystyle \{g \in \overline {\cal F}\vert \max d(g(x),f_0(x)) \leq \epsilon \}$

de $ f_0$ pour la topologie de la convergence uniforme contient $ {\cal V}$ qui est un voisinage de $ f_0$ pour la topologie produit. En résumé pour cette preuve, un sens est trivial, et l'autre sens se prouve en utilisant une boule pour la distance, et en appliquant à la fois l'équicontinuité de $ {\cal F}$ et la compacité de $ K$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Ces deux preuves achèvent donc le théorème d'Arzéla-Ascoli. En résumé il faut donc, pour le sens difficile:
$ \bullet\ $Utiliser la condition sur les parties relativement compactes de $ F$ pour conclure à la relative compacité de $ {\cal F}$ dans l'espace produit
$ \bullet\ $Utiliser l'équicontinuité pour montrer que $ \overline F \subset C^0(K,F)$
$ \bullet\ $Utiliser l'équicontinuité de $ {\cal F}$ et la compacité de $ K$ pour montrer que les deux topologies sont égales.$ \sqcap$$ \sqcup$


Notes

... métrique1.2
Hypothèse facile à retenir; on ne pourrait pas définir la notion de famille équicontinue si $ F$ n'était pas métrique.
... $ \overline {\cal F}$1.3
Adhérence prise pour la topologie de la convergence simple, c'est à dire pour la topologie produit dans $ F^E$.
...$ {\cal E}$1.4
C'est-à-dire la topologie induite par les projections canoniques de $ F^E$ sur les $ (F_{x_i})_i$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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