Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
91 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Applications next up previous index
suivant: La hiérarchie des , monter: Théorèmes d'Ascoli et conséquences précédent: Théorie   Index

Sous-sections

Applications


$ \boxcircle$ Topologie de $ H(\Omega)$

On travaille sur $ H(\Omega)$, avec $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{C}$, munie de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Définition On dit d'une partie $ {\cal F}$ de $ H(\Omega)$ qu'elle est bornée si pour tout compact $ K$ de $ \Omega$ il existe une certaine constante $ C_K$ telle que pour toute $ f$ dans $ {\cal F}$ et tout $ k$ dans $ K$, $ \vert f(k)\vert\leq C_K$.
Théorème Les parties compactes de l'ensemble des donctions holomorphes sur $ \Omega$ $ H(\Omega)$ sont les parties fermées et bornées.
Démonstration: $ \bullet\ $Montrons tout d'abord (partie facile) que les parties compactes sont fermées et bornées.
- Les parties compactes sont fermées, par le lemme [*] (tout compact d'un espace séparé est fermé)
- Les parties compactes sont bornées; c'est évident.
$ \bullet\ $Supposons que $ K$ soit une partie fermée bornée de $ H(\Omega)$.
- Montrons tout d'abord que $ K$ est équicontinue en tout point $ x$ de $ \Omega$. Soit donc un tel $ x$.
- $ x$ est centre d'un certain disque compact inclus dans $ \Omega$
- toute $ f$ de $ K$ est bornée par un certain $ M$ sur ce disque compact de rayon $ R$
- donc la dérivée de $ f$ en tout point du disque de centre $ x$ et de rayon $ R/2$ est majorée par $ 2M/R$, grâce à l'estimateur de Cauchy (théorème [*]).
- donc $ {\cal F}$ est équicontinue en $ x$, par le théorème des accroissements finis [*].
- Etant donné $ x$ dans $ \Omega$, l'ensemble des $ f(x)$ pour $ f$ dans $ {\cal F}$ est borné, donc relativement compact.
- Par le théorème d'Arzéla-Ascoli [*], $ K$ est donc relativement compact, or il est fermé, donc il est compact.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire L'ensemble des fonctions holomorphes sur $ \Omega$ $ H(\Omega)$ muni de la topologie de la convergence uniforme est métrisable, mais pas normable.
Démonstration: Pour voir que $ H(\Omega)$ est métrisable, il suffit de consulter le lemme [*] et le théorème [*].
D'après le théorème de Riesz ([*]), si $ H(\Omega)$ était normable, alors la boule unité fermé serait compacte si et seulement si l'espace était de dimension finie. Or $ H(\Omega)$ n'est pas de dimension finie.$ \sqcap$$ \sqcup$

next up previous index
suivant: La hiérarchie des , monter: Théorèmes d'Ascoli et conséquences précédent: Théorie   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page