On travaille sur , avec un ouvert de
, munie
de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Définition
On dit d'une partie de qu'elle est bornée
si pour tout compact de il existe une certaine constante
telle que pour toute dans et tout dans ,
.
Théorème
Les parties compactes de l'ensemble des donctions holomorphes sur sont les parties fermées et bornées.
Démonstration:Montrons tout d'abord (partie facile) que les parties compactes sont
fermées et bornées.
- Les parties compactes sont fermées, par le lemme (tout compact d'un espace séparé est fermé)
- Les parties compactes sont bornées; c'est évident.
Supposons que soit une partie fermée bornée de .
- Montrons tout d'abord que est équicontinue en tout point de . Soit donc un tel .
- est centre d'un certain disque compact inclus dans
- toute de est bornée par un certain sur ce disque compact de rayon
- donc la dérivée de en tout point du disque de centre et de rayon est majorée par , grâce à l'estimateur de Cauchy (théorème ).
- donc est équicontinue en , par le théorème des accroissements finis .
- Etant donné dans , l'ensemble des pour dans est borné, donc relativement compact.
- Par le théorème d'Arzéla-Ascoli , est donc relativement compact, or il est fermé, donc il est compact. Corollaire
L'ensemble des fonctions holomorphes sur muni de la topologie de la convergence uniforme est métrisable, mais pas normable.
Démonstration:
Pour voir que est métrisable, il suffit de consulter le lemme et le théorème .
D'après le théorème de Riesz (), si était normable, alors la boule unité fermé serait compacte si et seulement si l'espace était de dimension finie. Or n'est pas de dimension finie. suivant:La hiérarchie des , monter:Théorèmes d'Ascoli et conséquences précédent:ThéorieIndex
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
Topologie de 
un ouvert de
, munie
de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact
de 
de 
telle que pour toute 
dans 
dans 
.
Montrons tout d'abord (partie facile) que les parties compactes sont
fermées et bornées.
![[*]](/images/crossref.png)
de 
sur ce disque compact de rayon 
est majorée par 
, grâce à l'estimateur de Cauchy (théorème 
pour 
